Тип 15 № 12345

Рассмотрим, как зависят период обращения и скорость частицы, движущейся по окружности в магнитном поле, от её массы $m$, заряда $q$, и кинетической энергии $W_k$ при заданной индукции магнитного поля $B$.

сила Лоренца: $$F = qvB\sin\alpha,$$ где $q$ — заряд частицы, $v$ — скорость частицы, $B$ — магнитная индукция. Поскольку альфа-частица движется по окружности, магнитное поле перпендикулярно её траектории, и $\sin 90^\circ = 1$, поэтому сила Лоренца записывается как: $$F = qvB.$$ Второй закон Ньютона: $$m a = F,$$ $$m \frac{v^2}{R} = q v B,$$ откуда $$v = \frac{q B R}{m}.$$

Период обращения частицы по окружности находим из соотношения между длиной окружности и скоростью: $$T = \frac{2\pi R}{v}.$$ Подставляя выражение для $v$, получаем: $$T = \frac{2\pi R}{\frac{q B R}{m}} = \frac{2\pi m}{q B}.$$

Таким образом, период обращения частицы в магнитном поле зависит только от отношения её массы к заряду и индукции поля, но не зависит от скорости или радиуса траектории.

Если сравнить два типа частиц — например, протон ($m_1 = 1~\text{а.е.м.},~q_1 = e$) и альфа-частицу ($m_2 = 4~\text{а.е.м.},~q_2 = 2e$), то у них периоды обращения соотносятся как: $$\frac{T_2}{T_1} = \frac{m_2/q_2}{m_1/q_1} = \frac{4/2}{1/1} = 2.$$ То есть, период обращения альфа-частицы вдвое больше периода обращения протона.

Скорость частицы можно выразить через её кинетическую энергию: $$W_k = \frac{1}{2} m v^2 \qquad \Rightarrow \qquad v = \sqrt{\frac{2 W_k}{m}}.$$ Таким образом, при увеличении массы при неизменной кинетической энергии скорость частицы уменьшается.