Логарифмические уравнения

Решение:

$$7\sqrt{3}\sin x - \cos 2x - 10 = 1,$$ $$7\sqrt{3}\sin x - \cos 2x - 11 = 0.$$

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$7\sqrt{3}\sin x - (1 - 2\sin^2 x) - 11 = 0,$$ $$2\sin^2 x + 7\sqrt{3}\sin x - 12 = 0.$$

Пусть $t = \sin x$. Тогда $$2t^2 + 7\sqrt{3}t - 12 = 0.$$

Найдём дискриминант: $$D = (7\sqrt{3})^2 - 4\cdot 2 \cdot (-12) = 147 + 96 = 243 = 81\cdot 3,$$ $$\sqrt{D} = 9\sqrt{3}.$$

Тогда $$t = \frac{-7\sqrt{3} \pm 9\sqrt{3}}{4}.$$

Получаем: $$t_1 = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad t_2 = \frac{-16\sqrt{3}}{4} = -4\sqrt{3}.$$

Значение $t_2 = -4\sqrt{3} < -1$ не подходит, так как $\sin x \in [-1; 1]$.

Остаётся $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решения: $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \qquad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]$.

Рассмотрим серию $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $$\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 3\pi.$$ Разделим на $\pi$: $$\frac{3}{2} \le \frac{1}{3} + 2k \le 3.$$ Вычтем $\frac{1}{3}$: $$\frac{7}{6} \le 2k \le \frac{8}{3}.$$ Разделим на 2: $$\frac{7}{12} \le k \le \frac{4}{3}.$$ Целое $k$: $k = 1$. Тогда $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}.$$

Рассмотрим серию $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: $$\frac{3\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 3\pi.$$ Разделим на $\pi$: $$\frac{3}{2} \le \frac{2}{3} + 2k \le 3.$$ Вычтем $\frac{2}{3}$: $$\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{7}{3}.$$ Разделим на 2: $$\frac{5}{12} \le k \le \frac{7}{6}.$$ Целое $k$: $k = 1$. Тогда $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}.$$

Покажем отбор на тригонометрической окружности:

Следовательно, на заданном отрезке лежат корни:

$$\frac{7\pi}{3}; \quad \frac{8\pi}{3}.$$ Ответ: a) $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k,\; x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{3};\; \frac{8\pi}{3}$.