Задание 19: Среднее арифметическое — ЕГЭ по математике

В наборе $100$ гирек весом $1, 2, ..., 100$ граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами $1$ г, $5$ г, $9$ г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться $7,5$ граммов?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

Решение:

a) Могла ли первая кучка состоять из гирек 1 г, 5 г, 9 г?

Решение: Пусть в первой куче было $n = 3$ гирьки с массами 1, 5, 9 граммов. Их суммарная масса: $S = 1 + 5 + 9 = 15 \text{ г}$ Средняя масса до перекладывания: $a = \frac{15}{3} = 5 \text{ г}$ После перекладывания гирьки массой $k$ граммов из второй кучи средняя масса стала: $a_{\text{нов}} = \frac{15 + k}{4} = 6 \text{ г}$ Решаем уравнение: $\frac{15 + k}{4} = 6 \Rightarrow 15 + k = 24 \Rightarrow k = 9 \text{ г}$ Но гирька массой 9 г уже есть в первой куче, что противоречит условию (гирьки различны).
Ответ: Нет, не могла.

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 г?

Решение: Пусть в первой куче было $n$ гирек со средней массой $a = 7{,}5$ г. Сумма их масс: $S = 7{,}5n$ После перекладывания гирьки массой $k$ граммов средняя масса стала: $\frac{7{,}5n + k}{n + 1} = 8{,}5$ Решаем уравнение: $7{,}5n + k = 8{,}5(n + 1) \Rightarrow 7{,}5n + k = 8{,}5n + 8{,}5 \Rightarrow k = n + 8{,}5$ Масса гирьки $k$ должна быть целым числом, но $n + 8{,}5$ — нецелое при любом целом $n$ . Противоречие.
Ответ: Нет, не мог.

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Решение: Пусть в первой куче было $n$ гирек со средней массой $a$ . Сумма их масс: $S = na$ .

После перекладывания гирьки массой $k$ граммов: $\frac{na + k}{n + 1} = a + 1$ Преобразуем: $na + k = (n + 1)(a + 1) = na + n + a + 1 \Rightarrow k = n + a + 1$ Так как все гирьки различны и их массы от 1 до 100 г, то $k \leq 100$ .

Минимально возможная средняя масса $n$ гирек (при наименьших массах): $a \geq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n} = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}$ Тогда: $k = n + a + 1 \geq n + \frac{n + 1}{2} + 1 = \frac{3n + 3}{2}$ С другой стороны, $k \leq 100$ , поэтому: $\frac{3n + 3}{2} \leq 100 \Rightarrow 3n + 3 \leq 200 \Rightarrow 3n \leq 197 \Rightarrow n \leq 65$ Покажем, что $n = 65$ достижимо. Возьмём в первую кучу гирьки с массами $1, 2, \ldots, 65$ . Тогда: $a = \frac{1 + 2 + \cdots + 65}{65} = \frac{65 \cdot 66}{2 \cdot 65} = 33$ $k = n + a + 1 = 65 + 33 + 1 = 99$ Гирька массой 99 г есть в наборе и не входит в первую кучу. После перекладывания: $a_{\text{нов}} = \frac{1 + 2 + \cdots + 65 + 99}{66} = \frac{\frac{65 \cdot 66}{2} + 99}{66} = \frac{2145 + 99}{66} = \frac{2244}{66} = 34 = a + 1$ Условие выполнено.
Ответ: 65.