Тип 11 № 10831

Используем две точки графика для составления системы уравнений: $$\begin{cases} f(-3) = 1 \\ f(-1) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_a (-3 + b) = 1 \\ \log_a (-1 + b) = 2 \end{cases}$$

Преобразуем уравнения, используя определение логарифма: $$\begin{cases} -3 + b = a \\ -1 + b = a^2 \end{cases}$$

Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе: $$b = a + 3 \\ -1 + (a + 3) = a^2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Учитывая условия $a > 0$ и $a \neq 1$, выбираем $a = 2$.

Находим $b$: $$b = 2 + 3 = 5$$

Функция принимает вид: $$f(x) = \log_2 (x + 5)$$

Решаем уравнение $f(x) = 4$: $$\log_2 (x + 5) = 4 \Rightarrow x + 5 = 2^4 \Rightarrow x = 16 - 5 = 11$$