Тип 18 № 10867

$$(*) x^2 + 3x - a \geq 0 \\$$

Преобразуем уравнение:

$$x^4 - 9x^2 + a^2 = (x^2 + 3x - a)^2$$

Раскроем правую часть: $$x^4 - 9x^2 + a^2 = x^4 + 9x^2 + a^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$

Упростим: $$-9x^2 = 9x^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$ $$6x^3 + 18x^2 - 2a x^2 - 6a x = 0$$ $$6x^2(x + 3) - 2a x(x + 3) = 0$$ $$(x + 3)(6x^2 - 2a x) = 0$$ $$(x + 3) \cdot x \cdot (6x - 2a) = 0$$

Получаем корни: $$x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \frac{a}{3}$$

Найдём значения параметра $a$, при которых корни уравнения удовлетворяют условию $(*)$. Для этого подставим их в $(*)$:

1. Для $x_1 = -3$: $$9 - 9 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

2. Для $x_2 = 0$: $$0 + 0 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

3. Для $x_3 = \frac{a}{3}$: $$\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{a}{3} - a \geq 0 \Rightarrow \frac{a^2}{9} \geq 0 \Rightarrow a \in \mathbb{R}$$

Проверим совпадение корней:

1. $x_1 = x_2$: $$-3 \mathrel{=}\llap{/\,}0 \quad \text{не совпадают.}$$

2. $x_1 = x_3$: $$-3 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = -9$$

3. $x_2 = x_3$: $$0 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 0$$

Отметим количество решений на оси:

Таким образом, уравнение имеет три различных корня при:

$$a \in (-\infty; -9) \cup (-9; 0)$$

Ответ: $(-\infty; -9) \cup (-9; 0)$