Тип 11 № 12079

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = -1$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^1 + b = -1 \end{cases}$$ Вычитаем второе уравнение из первого: $$a^2 - a = 2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Так как показательная функция определена при $a > 0$, выбираем $a = 2$.

Подставляем $a = 2$ во второе уравнение системы: $$2 + b = -1 \Rightarrow b = -3$$ Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Находим $f(6)$: $$f(6) = 2^6 - 3 = 64 - 3 = 61$$