Тип 19 № 12153

a) Могла ли первая кучка состоять из гирек $11$ г, $15$ г, $19$ г?

Пусть в первой куче было $n=3$ гирьки массами $11,15,19$ граммов. Их суммарная масса: $$S = 11 + 15 + 19 = 45 \text{ г}$$ Средняя масса до перекладывания: $$a = \frac{45}{3} = 15 \text{ г}$$ После перекладывания гирьки массой $k$ граммов из второй кучи средняя масса стала: $$a_{\text{нов}} = \frac{45 + k}{4} = 16 \text{ г}$$ Решаем уравнение: $$\frac{45 + k}{4} = 16 \Rightarrow 45 + k = 64 \Rightarrow k = 19 \text{ г}$$ Но гирька массой $19$ г уже принадлежит первой кучке, а все гири различны, следовательно такое перекладывание невозможно.
Ответ: Нет, не могла.

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться $9{,}5$ г?

Пусть в первой куче было $n$ гирек со средней массой $a = 9{,}5$ г. Сумма их масс: $$S = 9{,}5n$$ После переложения гири массы $k$ г новая средняя: $$\frac{9{,}5n + k}{n + 1} = 10{,}5$$ Отсюда $$9{,}5n + k = 10{,}5(n + 1) \Rightarrow k = n + 10{,}5.$$ При целочисленном $n$ выражение $n + 10{,}5$ даёт дробное число с дробной частью ${,}5$, а масса гири должна быть целым числом. Противоречие.
Ответ: Нет, не мог.

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Пусть в первой куче было $n$ гирек со средней массой $a$. Тогда $S = na$. После перекладывания гири массы $k$: $$\frac{na + k}{n + 1} = a + 1.$$ Отсюда $$na + k = (n + 1)(a + 1) = na + n + a + 1 \Rightarrow k = n + a + 1.$$ Так как все гири различны и их массы от $1$ до $70$ г, то $k \leq 70$.

Нижняя оценка для $a$ при фиксированном $n$ достигается, когда в первой кучке — $n$ наименьших гирек $1,2,\ldots,n$, тогда $$a \ge \frac{1+2+\cdots+n}{n} = \frac{n(n+1)/2}{n} = \frac{n+1}{2}.$$ Тогда $$k = n + a + 1 \ge n + \frac{n+1}{2} + 1 = \frac{3n + 3}{2}.$$ Условие $k \le 70$ даёт $$\frac{3n + 3}{2} \le 70 \Rightarrow 3n + 3 \le 140 \Rightarrow 3n \le 137 \Rightarrow n \le 45{,}666\ldots$$ Следовательно $n \le 45$.

Покажем достижимость $n=45$. Возьмём в первую кучу гири масс $1,2,\ldots,45$. Тогда $$a = \frac{1 + 2 + \cdots + 45}{45} = \frac{45\cdot 46/2}{45} = 23.$$ Тогда $$k = n + a + 1 = 45 + 23 + 1 = 69,$$ и гирька массой $69$ г есть в наборе и не входит в первую кучку. После переложения $$a_{\text{нов}} = \frac{1 + 2 + \cdots + 45 + 69}{46} = \frac{45\cdot 46/2 + 69}{46} = \frac{1035 + 69}{46} = \frac{1104}{46} = 24 = a + 1.$$ Условие выполнено.
Ответ: $45$.

Ответ: a) нет; б) нет; в) 45.