Тип 17 № 12163

а)

Рассмотрим треугольник $AHC$. Угол $HC_1C$ равен $90^\circ$, угол $HA_1A$ равен $90^\circ$, значит:
$$\angle HC_1C + \angle HA_1A = 180^\circ \Rightarrow \text{ четырёхугольник } HC_1BA_1 \text{ вписанный }$$
Найдём угол $ABC$:
$$\angle ABC = \angle C_1B A_1 \text{ как вертикальные}$$
$$\angle C_1BA_1 = 180^\circ - \angle AHC = 180^\circ - 60 = 120^\circ = \angle ABC$$

б) Найдём угол $HAA_1$ из прямоугольного $\triangle HAA_1$: $$\angle HAA_1 = 90^\circ - \angle AHA_1 = 90^\circ - \angle AHC = 30^\circ$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC_1$. Катет $C_1B$ равен половине гипотенузы $AB$, так как он лежит против угла в $30^\circ$. $$C_1B = \frac{AB}{2} = \frac{7}{2}$$ Аналогично для треугольника $CC_1H$, $\angle HCC_1 = 30^\circ$.

Из этого же треугольника имеем: $$\tg HCC_1 = \tg30^\circ = \frac{HC_1}{CC_1} = \frac{HC_1}{C_1B + BC} = \frac{HC_1}{\frac{23}{2}} = \frac{\sqrt3}{3} \Leftrightarrow HC_1 = \frac{23\sqrt3}{6}$$

Из прямоугольного $\triangle HC_1B$ по теореме Пифагора: $$HB = \sqrt{(C_1B)^2 + (HC_1)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{1586}{36}} = \sqrt{\frac{2028}{36}} =$$ $$= \sqrt{\frac{169}{3}} = \frac{13}{\sqrt3}$$

Ответ: $\frac{13}{\sqrt3}$