Тип 19 № 12544

а) Да, может.

Приведём пример:

По условию задачи сумма записанных чисел на доске должна каждый день увеличиваться, а их количество уменьшаться.

Распишем по дням.

Первый день: $2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2$

Второй день: $2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5$

Третий день: $2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5$

Четвёртый день: $2, 2, 2, 2, 5, 5, 5$

Пятый день: $2, 2, 5, 5, 5, 5$

Шестой день: $5, 5, 5, 5, 5$

Таким образом, мы показали, что $n = 6 > 5 \Rightarrow$ ответ – да.

б) Рассмотрим пример для n=4.

Первый день: четырнадцать троек и одна двойка (сумма 44, всего чисел на доске 15)

Второй день: четырнадцать четверок (сумма 56, всего чисел на доске 14)

Третий день: одиннадцать пятерок и две двойки (сумма 59, всего чисел на доске 13)

Четвёртый день: двенадцать пятерок (сумма 60, всего чисел на доске 12)

Среднее арифметическое всех чисел за все дни: $$s = \frac{44 + 56 + 59 + 60}{15 + 14 + 13 + 12} = \frac{219}{54} = 4\frac{3}{54} > 0$$

Ответ – да, может.

в)

Из условия пункта в мы можем сделать несколько выводов. Если сумма чисел, записанных в первый день, равна 6, то максимальное количество чисел будет при их минимальном значении: (1, 1, 1, 1, 1, 1). То есть в первый день максимальное количество чисел равняется 6.

Заметим также, что количество дней не больше 5, так как на 6 день на доске будет записано всего одно число, максимальное значение которого равно $5 < 6$. То есть $n \leq 5$.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

$n = 2$. В таком случае максимальное количество чисел, которое можно записать на доску в последний день равно 5, а значит максимальная сумма в последний день равна 25. Тогда сумма за все дни не больше $25 + 6 = 31$.

$n = 3$. В таком случае максимальное количество чисел, которое можно записать на доску в последний день равно 4, а значит максимальная сумма в последний день равна 20. Поэтому сумма во второй день не превосходит 19. Тогда сумма за все дни не больше $6 + 19 + 20 = 45$.

$n = 4$. В таком случае максимальное количество чисел, которое можно записать на доску в последний день равно 3, а значит максимальная сумма в последний день равна 15. Поэтому сумма в третий день не превосходит 14, а во второй день 13. Тогда сумма за все дни не больше $6 + 13 + 14 + 15 = 48$.

$n = 5$. В таком случае максимальное количество чисел, которое можно записать на доску в последний день равно 2, а значит максимальная сумма в последний день равна 10. Поэтому сумма в четвертый день не превосходит 9, в третий день 8, а во второй 7. Тогда сумма за все дни не больше $6 + 10 + 9 + 8 + 7 = 40$.

Значит максимальная сумма, которой можно достигнуть за все дни равна 48. Покажем, что такая ситуация действительно возможна:

$n = 4$

Первый день: шесть единиц.

Второй день: две двойки и три тройки.

Третий день: две пятерки и две двойки.

Четвертый день: три пятерки.

В итоге:

$$S = 6 + 13 + 14 + 15 = 48$$

Ответ: a) да; б) да; в) 48