Тип 19 № 12545

Введём обозначение: $s = 5$ – среднее арифметическое шести наименьших чисел. Тогда сумма шести наименьших чисел равна: $$6\cdot s = 6\cdot 5 = 30$$

а) Если наименьшее из всех одиннадцати чисел равно 3, тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна: $$3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33 > 30$$

Значит, такого быть не может.

Ответ – нет.

б) Введём дополнительные обозначения: $M$ – сумма пяти наименьших чисел, а $N$ – сумма пяти наибольших.

Пусть $a_6$ – шестое по величине число из всех 11.

Тогда имеем место система: $$\begin{cases} \tfrac{M + a_6}{6} = 5\\ \tfrac{N + a_6}{6} = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} M + a_6 = 30 \\ N + a_6 = 90 \end{cases}$$

Если среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 9, то их сумма равна: $9\cdot 11 = 99$.

Cложим уравнения системы: $$M + N + 2a_6 = 120 \Leftrightarrow M + N + a_6 = 99$$

Выходит, что $a_6 = 21$. Проверим первое условие системы: $$M + a_6 = 30 \Leftrightarrow M = 30 - a_6 = 30 - 21 = 9$$ Попробуем посчитать минимальную сумму первых пяти чисел: $$M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14 > 9$$ Получаем противоречие $\Rightarrow$ ответ – нет.

в) $S$ – среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. $a_6 = B$.

По аналогии с пунктом б: $$\begin{cases} \frac{M + N + B}{11} = S\\ M + N + B\cdot2 = 120 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} M + N + B = 11\cdot S\\ M + N + B\cdot2 = 120 \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения системы первое: $$B = 120 - S\cdot11$$ Выразим $S$: $$S = \frac{120 - B}{11}$$ Выразим искомую разность: $$S - B = S - (120 -S\cdot11) = 12\cdot S - 120$$ Подставим $S$ в правую часть уравнения: $$S - B = 12\cdot\frac{120 - B}{11} - 120 = \frac{12\cdot120 - 12\cdot B - 120\cdot11}{11} =$$ $$= \frac{120 - 12\cdot B}{11}$$ В итоге получили: $$S - B = \frac{120 - 12\cdot B}{11}$$ Так как знаменатель дроби константа, выходит, что чем больше разность в числителе, тем больше сама дробь $\Rightarrow$ тем больше искомое значение разности.

Тогда необходимо найти минимальное $B$. Переберём несколько возможных минимальных значений $B$. Так как по условию $B$ – это шестое по величине число его минимальное возможное значение равно 6.

Начнём перебор с 6:

$B = 6$

По условию сумма шести наименьших чисел должна равняться 30: $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 < 30$$

Значит, $B = 6$ нам не подходит.

$B = 7$

Аналогично со случаем, когда $B = 6$: $$2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7= 27 <30$$ Это максимально возможная сумма первых шести чисел. Получаем противоречие $\Rightarrow$ $B = 7$ нам не подходит.

$B = 8$ $$2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 = 30$$ Сумма шести минимальных чисел действительно может равняться $30$ при $B = 8$.

Проверим, может ли сумма шести набольших чисел равняться 90: $$8 + 13 + 14 + 15 + 16 + 24 = 90$$

Это условие также выполняется. Значит, мы нашли наименьшее возможное значение $B$ удовлетворяющее условиям задачи. Найдём наибольшее значение разности $S - B$: $$S - B = \frac{120 - 12\cdot8}{11} = \frac{120 - 96}{11} = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11}$$

Ответ: a) Нет. б) Нет. в) $2\frac{2}{11}$