Тип 19 № 12548

Введём обозначения: $s = 7$ – среднее арифметическое шести наименьших чисел. Тогда сумма шести наименьших чисел равна: $$6\cdot s = 6\cdot 7 = 42$$

а) Если наименьшее из всех одиннадцати чисел равно 5, тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна: $$5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45 > 42$$

Значит, такого быть не может.

Ответ – нет.

б) Введём дополнительные обозначения: $M$ – сумма пяти наименьших чисел, а $N$ – сумма пяти наибольших.

Пусть $a_6$ – шестое по величине число из всех 11.

Тогда имеет место система: $$\begin{cases} \tfrac{M + a_6}{6} = 7\\ \tfrac{N + a_6}{6} = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} M + a_6 = 42 \\ N + a_6 = 96 \end{cases}$$

Если среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 10, то их сумма равна: $10\cdot 11 = 110$.

Cложим уравнения системы: $$M + N + 2a_6 = 138 \Leftrightarrow M + N + a_6 = 110$$

Выходит, что $a_6 = 28$. Проверим первое условие системы: $$M + a_6 = 42 \Leftrightarrow M = 42 - a_6 = 42 - 28 = 14$$ Попробуем посчитать минимальную сумму первых пяти чисел: $$M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 > 14$$ Получаем противоречие $\Rightarrow$ ответ – нет.

в) $S$ – среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. $a_6 = B$.

По аналогии с пунктом б: $$\begin{cases} \frac{M + N + B}{11} = S\\ M + N + B\cdot2 = 138 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} M + N + B = 11\cdot S\\ M + N + B\cdot2 = 138 \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения системы первое: $$B = 138 - 11S$$ Выразим $S$: $$S = \frac{138 - B}{11}$$ Выразим искомую разность: $$S - B = \frac{138 - B}{11} - B = \frac{138 - B - 11B}{11} = \frac{138 - 12B}{11}$$ В итоге получили: $$S - B = \frac{138 - 12B}{11}$$ Так как знаменатель дроби константа, выходит, что чем меньше $B$, тем больше значение выражения $\Rightarrow$ тем больше искомое значение разности.

Тогда необходимо найти минимальное $B$. Переберём несколько возможных минимальных значений $B$. Так как по условию $B$ – это шестое по величине число его минимальное возможное значение равно 6.

Начнём перебор с 6:

$B = 6$

По условию сумма шести наименьших чисел должна равняться 42: $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 < 42$$

Значит, $B = 6$ нам не подходит.

$B = 7$

Аналогично со случаем, когда $B = 6$: $$2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27 < 42$$ Максимально возможная сумма меньше необходимой. Получаем противоречие $\Rightarrow$ $B = 7$ нам не подходит.

$B = 8$ $$3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33 < 42$$ Получаем противоречие $\Rightarrow$ $B = 8$ нам не подходит.

$B = 9$ $$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39 < 42$$ Получаем противоречие $\Rightarrow$ $B = 9$ нам не подходит.

$B = 10$ $$5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45 > 42$$ Найдём комбинацию: $4 + 5 +6 + 8 + 9 + 10 = 42$ Сумма шести минимальных чисел действительно может равняться $42$ при $B = 10$.

Проверим, может ли сумма шести наибольших чисел равняться 96: $$10 + 15 + 16 + 17+18 + 20 = 96$$

Это условие также выполняется. Значит, мы нашли наименьшее возможное значение $B$, удовлетворяющее условиям задачи. Найдём наибольшую разность $S - B$: $$S - B = \frac{138 - 12\cdot10}{11} = \frac{138 - 120}{11} = \frac{18}{11}$$

Ответ: a) Нет. б) Нет. в) $\frac{18}{11}$.