Тип 19 № 12565

Введём следующие обозначения:

$a$ – количество овощей, масса которых меньше 1000г.

$b$ – количество овощей, масса которых равна 1000г.

$c$ – количество овощей, масса которых больше 1000г.

По условию задачи, средняя масса всех овощей равна 1000г.

Сумма масс овощей равна произведению их средней массы и количества.

Тогда:

$S_a = a\cdot982$ – сумма масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г.

$S_b = b\cdot1000$ – сумма масс овощей, масса каждого из которых равна 1000г.

$S_c = c\cdot1024$ – сумма масс овощей, масса каждого из которых больше 1000г.

$$s = \frac{S_a + S_b + S_c}{65} = 1000 (\text{ средняя масса всех овощей})$$

Тогда сумма масс всех овощей равна: $$S_0 = S_a + S_b + S_c = 65000 \quad (*)$$

а) $a = c$. По условию в ящике всего 65 овощей, поэтому: $a + b + c = 65 \Leftrightarrow b + 2c = 65 \Leftrightarrow b = 65 - 2c$.

Подставим в уравнение $(*)$:

$$(65 - 2c)\cdot1000 + 982c + 1024c = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 65000 - 2000c + 982c + 1024c = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 6c = 0 \Leftrightarrow c = 0$$

Это противоречит условию задачи, так как количество овощей, масса которых больше 1000г есть, потому что их средняя масса равна 1024г.

Ответ – нет.

б) $b = 13$. Тогда: $a + 13 + c = 65 \Leftrightarrow c = 52 - a$

Подставим значения $c$ и $b$ в уравнение $(*)$: $$982a + 13000 + 1024\cdot(52 - a) = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 982a + 13000 + 53248 - 1024a = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow -42a + 66248 = 65000 \Leftrightarrow 42a = 1248 \Leftrightarrow 21a = 624 \Leftrightarrow 7a = 208$$ $$a = \frac{208}{7} \text{ нецелое число}$$ Получаем противоречие, так как количество овощей выражается целым числом $\Rightarrow$ ответ – нет.

в) Так как нас просят найти наименьшую возможную массу овоща в ящике, то логично будет отталкиваться от данных о средней массе овощей, масса которых меньше 1000г (так как она связана с овощами, которые имеют наименьшие массы в ящике).

Обозначим за $d$ массу наименьшего овоща в ящике.

$$\frac{S_a}{a} = 982$$

Тогда если мы хотим, чтобы $d$ было минимальным, нужно чтобы при фиксированном значении суммы масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г ($982a$), остальные овощи имели наибольшую возможную массу.

Наибольшая возможная масса овоща, которая меньше 1000г и выражается целым число – это $1000- 1 = 999$г.

Тогда средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000г не больше чем: $$\frac{d + 999(a - 1)}{a} \geq 982 \Leftrightarrow d + 999a - 999 \geq 982a \Leftrightarrow d \geq 999 - 17a$$

Из уравнения $(*)$ получимследующее соотношение: $$982a + 1000b + 1024c = 65000 = 1000\cdot(a + b + c) \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 1000a - 982a + 1000b - 1000b + 1000c - 1024c = 0 \Leftrightarrow 18a - 24 c = 0$$ $$4c = 3a$$

Выходит, что нам необходимо найти максимально возможное значение $a$, которое удовлетворяет условиям задачи. В частности в уравнении $4c = 3a$ при подстановке значения $a$ должно получаться целое значение $c$. При этом $a$ должно быть кратно $4$ ($c = \tfrac{3}{4}a$)

Найдём максимальное значение $a$, при котором количество овощей равно 65.

При $a = 36 \quad \vdots \quad 4$, $c = 27$. Тогда $36 + b + 27 = 65 \Leftrightarrow b = 2$

При значениях $a > 36$, мы будем получать отрицательные значения $b$, чего быть не может.

Найдём наименьшую возможную массу овоща в ящике: $$d \geq 999 - 17\cdot36 = 387$$

Приведём пример для $d = 387$. Пусть в ящике лежит 35 овощей с массой 999 г, 1 овощь с массой 387г, 27 овощей с массой 1024г и 2 овоща с массой ровно 1000г. $$35\cdot999 + 387 + 27\cdot1024 + 2\cdot1000 = 65000$$

При этом все остальные соотношения также выполнены.

Ответ: а) нет. б) нет. в) 387.