Тип 19 № 12566

Введём следующие обозначения:

$a$ – количество овощей, масса которых меньше 1000г.

$b$ – количество овощей, масса которых равна 1000г.

$c$ – количество овощей, масса которых больше 1000г.

По уловию задачи, средняя масса всех овощей равна 1000г.

Сумма масс овощей равна произведению их средней массы и количества.

Тогда:

$S_a = a\cdot988$ – суммма масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г.

$S_b = b\cdot1000$ – суммма масс овощей, масса каждого из которых равна 1000г.

$S_c = c\cdot1030$ – суммма масс овощей, масса каждого из которых , больше 1000г.

$$s = \frac{S_a + S_b + S_c}{73} = 1000 (\text{ средняя масса всех овощей})$$

Тогда сумма масс всех овощей равна: $$S_0 = S_a + S_b + S_c = 73000 \quad (*)$$

a) $a = c$. По условию в ящике всего 73 овоща, поэтому: $a + b + c = 73 \Leftrightarrow b + 2c = 73 \Leftrightarrow b = 73 - 2c$.

Подставим в уравнение $(*)$:

$$(73 - 2c)\cdot1000 + 988c + 1030c = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 73000 - 2000c + 988c + 1030c = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 18c = 0 \Leftrightarrow c = 0$$

Это противоречит условию задачи, так как количество овощей, масса которых больше 1000г есть, потому что их средняя масса равна 1030г.

Ответ – нет.

б) $b = 11$. Тогда: $a + 11 + c = 73 \Leftrightarrow c = 62 - a$

Подставим значения $c$ и $b$ в уравнение $(*)$: $$988a + 11000 + 1030\cdot(62 - a) = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 988a + 11000 + 63860 - 1030a = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow -42a + 74860 = 73000 \Leftrightarrow42a = 1860 \Leftrightarrow21a = 930 \Leftrightarrow 7a = 310$$ $$a = \frac{310}{7} \text{ нецелое число}$$ Получаем противоречие, так как количество овощей выражается целым числом $\Rightarrow$ ответ – нет.

в) Так как нас просят найти наименьшую возможную массу овоща в ящике, то логично будет отталкиваться от данных о средней массе овощей, масса которых меньше 1000г (так как она связана с овощами, которые имеют наименьшие массы в ящике).

Обозначим за $d$ массу наименьшего овоща в ящике.

$$\frac{S_a}{a} = 988$$

Тогда если мы хотим, чтобы $d$ было минимальным, нужно чтобы при фиксированном значении суммы масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г ($988a$), остальные овощи имели наибольшую возможную массу.

Наибольшая возможная масса овоща, которая меньше 1000г и выражается целым число – это $1000- 1 = 999$г.

Тогда средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000г не больше чем: $$\frac{d + 999(a - 1)}{a} \geq 988 \Leftrightarrow d + 999a - 999 \geq 988a \Leftrightarrow d \geq 999 - 11a$$

Из неравенства видно, что чем больше значение $a$, тем меньше значение $d$, что нам и нужно. Тогда необходимо найти наибольшее возможное значение $a$, удовлетворяющее условиям задачи.

Вернёмся к уравнению $(*)$ и преобразуем его: $$988a + 1000b + 1030c = 73000 \Leftrightarrow 988a = 10(7300 - 100b - 103c) \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 988\cdot\frac{a}{10} = 7300 - 100b - 103c \Leftrightarrow 494\cdot\frac{a}{5} = 7300 - 100b - 103c (**)$$ Отсюда видно, что $a$ кратно 5.

По условию $a < 72$, так как в ином случае средние массы овощей с массами $\geq 1000$ г были бы нулевыми.

Тогда начнём уменьшать значение $a$ начиная с 70, при условии что оно будет кратно 5.

$a = 70$.

Подставим в уравнение $(**)$: $$494\cdot\frac{70}{5} = 7300 - 100b - 103c \Leftrightarrow 100b + 103c = 7300 - 6916 = 384$$ Представим левую и правую части уравнения в виде: $$3c + 100b + 100c = 300 + 84 \Leftrightarrow 3c - 84 = 100(3 - b - c)$$ Откуда видно, что $3c - 84$ должно быть кратно 100.

Если расписать аналогичным образом случаи, когда $a = 65; a = 60; a = 55;$, то мы получим случаи: $3c - 78$, $3c - 72$, $3c - 66$, которые также будут кратны 100.

Соответственно, начиная от случая $a = 55$ и до случая, когда $a = 70$, мы будем получать отрицательные значения $b$ при подстановке в уравнение $988\cdot\frac{a}{5} + 100b + 103c = 73000$.

Например, для случая $a = 55, 3c - 66 = 100(18 - b - c)$. Отсюда $c = 22$ минимум, но тогда: $$0 = 18 - b - 22 \Leftrightarrow b = -4$$

В случае же, когда $a = 50$, мы получаем следующую ситуацию: $$4940 = 7300 - 100b - 103c \Leftrightarrow 100b + 103c = 2360 \Leftrightarrow3c - 60 = 100(23 - b -c)$$ Отсюда минимальное значение $c$ может быть равно 20. Тогда: $$0 = 100(23 - b - 20) \Leftrightarrow b = 3$$ Мы получили максимальное значение $a$, которое удовлетворяет условиям задачи. $$d \geq 999 - 11\cdot50 = 449 \Leftrightarrow d \geq 449$$ Откуда минимальное значение $d$ равно 449.

Ответ: а) нет. б) нет. в) 449.