Тип 17 № 12570

а)

Углы $\angle AMC$ и $\angle AKC$ равны $90^\circ$, значит точки $A, M, K, C$ лежат на одной окружности, а $AC$ ее диаметр.
Обозначим $\angle KAC = \alpha$
$\angle KAC = \angle KMC = \alpha$, так как опираются на одну дугу.
Заметим, что углы $\angle MEK$ и $\angle MHK$ равны $90^\circ$, значит точки $M, E, H, K$ лежат на одной окружности, а $MK$ ее диаметр.
$\angle KMH = \angle KEH = \alpha$, так как опираются на одну дугу.
Тогда $EH \parallel AC$ при соответственных $\angle KEH$ и $\angle KAC$ равных $\alpha$.
б) Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle EOH$
$\angle OAC = \angle OEH = \alpha$, а $\angle O$ - общий, значит $\triangle AOC \sim \triangle EOH$.
Далее, найдем $\angle AOM$:
$\angle AOM = 90^\circ - \angle MAO = 90^\circ - \angle BAK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$
В прямоугольном $\triangle AMO$: $$\ MO = AO \cdot \cos \angle AOM$$

Теперь, в прямоугольном $\triangle MOE$: $$\ EO = MO \cdot \cos \angle AOM = AO \cdot \cos^2 \angle AOM = AO \cdot \cos^2 30^\circ = \frac{3}{4}AO$$

Таким образом, коэффициент подобия треугольников $\triangle EOH$ и $\triangle AOC$ равен $\cfrac{3}{4}$, значит $EH:AC = 3:4$
Ответ:    $3:4$