Тип 14 № 12882

а) В прямоугольных треугольниках $ADB$ и $ADC$ катет $AD$ общий, а $AB=AC$ по условию. Тогда $\triangle ADB=\triangle ADC\Rightarrow BD=CD$, что и требовалось доказать.

б) В прямоугольных треугольниках $ADB$ и $CDB$ катет $BD$ общий, а $AB=BC$ по условию. Тогда $\triangle ADB=\triangle CDB\Rightarrow AD=CD$.

Треугольник $BCD$ – равнобедренный и прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:

$$BC^2=BD^2+CD^2=2\cdot CD^2 \quad BC=\sqrt{2}\cdot CD \quad CD=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot BC=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 5\sqrt{2}=5$$

То есть:

$$AD=BD=CD=5$$

По условию:

$$\frac{DF}{FC}=\frac{2}{3}\Rightarrow DF=\frac{2}{3}FC \quad CD=DF+FC=\frac{2}{3}FC+FC=\frac{5}{3}FC \quad FC=\frac{3}{5}CD=\frac{3}{5}\cdot 5=3\quad DF=\frac{2}{3}FC=\frac{2}{3}\cdot 3=2$$

Аналогично $EA=3$ и $DE=2$.

$\dfrac{DE}{DA}=\dfrac{DF}{DC}$ и $\angle ADC$ – общий $\Rightarrow$ $\triangle DAC$ подобен $\triangle DEF$, тогда

$$\frac{EF}{AC}=\frac{DF}{DC}=\frac{2}{5} \quad MF=\frac{2}{5}AC=\frac{2}{5}\cdot 5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

Треугольник $BDF$ прямоугольный, тогда:

$$BF^2=BD^2+DF^2 \quad BF=\sqrt{BD^2+DF^2} \quad BF=\sqrt{5^2+2^2} \quad BF=\sqrt{29}$$

Треугольник $EFB$ равнобедренный $(BF=BE)$, тогда его площадь равна:

$$S_{EFB}=\frac{1}{2}EF\sqrt{EB^2-\left(\frac{EF}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{29-2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$$

Ответ: $3\sqrt{6}$