Задание 17: Теорема Менелая — ЕГЭ по математике

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ , перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$ . При этом $AK:KC=1:2$ .

а) Докажите, что $\angle BAC = 30^\circ$ .

б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пресекаются в точке $P$ , а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$ . Найдите $KQ$ , если $BC=\sqrt{21}$ .

Решение:

а)

Пусть $E$ — середина $KC$ . Тогда $ME$ — медиана прямоугольного $\Delta CMK$ .
Пусть $ME = x$ , тогда $ME = CE = EK = x=\dfrac{1}{2}CK$
А тогда $AK = \dfrac{1}{2}CK = x$ %Значит % $%ME=\dfrac{1}{2}CK =AK =\dfrac{1}{2}AE %$ $CM=MA \quad (M \text{--- середина гипотенузы $AB$} ) \; \Longrightarrow \Delta CMA \text{ --- равнобедренный}$ Тогда $\angle MCA = \angle MAC$ .

Далее, $\angle MCA = \angle MAC$ $MC = MA$ $CK=EA=2x$ Тогда $\Delta AME = \Delta CMK$ % $% \begin{array}{l@{\ }c@{\ }l} % \left.\begin{aligned} % \angle MCA &= \angle MAC\\ % MC &= MA\\ % CK&=EA=2x % \end{aligned}\right| & \Rightarrow & \Delta AME = \Delta CMK % \end{array} %$

Следовательно, $\angle AME = \angle CMK = 90^\circ$ . $ME = \dfrac{1}{2}AE, \; AE \text{--- гипотенуза} \Longrightarrow \angle BAC = 30^\circ.$

б)

По теореме Менелая для $\Delta ABC$ и прямой $KM$ : $\dfrac{AM}{MB}\cdot \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CK}{KA} =1 \; \Longleftrightarrow \; \dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{2}{1}=1 \; \Longrightarrow \dfrac{BP}{PC} = \dfrac{1}{2}$ В прямоугольном $\Delta ABC$ $\tg \angle BAC = \dfrac{BC}{AC} \; \Longleftrightarrow \; \tg 30^\circ = \dfrac{BC}{3x} \; \Longleftrightarrow \; BC=\sqrt{3}x$ $BC = \sqrt{21} \; \Longrightarrow \; \sqrt{21}=\sqrt{3}x \; \Longrightarrow \; x=\sqrt{7}$
$PB=BC=\sqrt{21}$ .
Проведем прямую через точку $A$ параллельно $BC$ , которая пересечет $BQ$ в точке $T$ . % $% \begin{array}{l@{\ }c@{\ }l} % \left.\begin{aligned} % \angle KAT &= \angle KCB, \text{ как накрест лежащие}\\ % \angle CKB &= \angle AKT, \text{ как вертикальные} % \end{aligned}\right| & \Rightarrow & \Delta KAT \sim \Delta KCB % \end{array} %$ $\angle KAT = \angle KCB, \text{ как накрест лежащие}$ $\angle CKB = \angle AKT, \text{ как вертикальные}$ Следовательно, $\Delta KAT \sim \Delta KCB$

Тогда $\dfrac{AK}{KC}=\dfrac{AT}{BC}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$ Получим $AT=\dfrac{1}{2}BC =\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ $AT = \dfrac{1}{2}BC, \; AT \parallel BC \; \Longrightarrow \; AT$ — средняя линия $\Delta BPQ$ .
Тогда $\dfrac{BK}{KT}=\dfrac{BC}{AT} = \dfrac{2}{1} \; (\Delta KAT \sim \Delta KCB)$ Найдем $BK$ из $\Delta BKC$ : $BK = \sqrt{BC^2 + CK^2}= \sqrt{21 + 28} = 7$ Тогда $KT = \dfrac{BK}{2} = \dfrac{7}{2}, \quad BT = BK + KT = \dfrac{21}{2}$

Так как $BQ = 2BT \; (AT \text{ --- средняя линия})$ , то получим, что
$BQ = 2\cdot\dfrac{21}{2} = 21$ А тогда $KQ = BQ - BK = 21 - 7 = 14$

Ответ: $\quad 14$