Тип 17 № 12902

а)

Пусть $F$ — точка пересечения $AB$ и $CD$.

$CE \perp CD, \quad AH \perp CD,$ тогда $CE \parallel AH$.

Заметим, что прямоугольные треугольники $FBC, FCE, FHA, FAD$ подобны, так как у них общий острый угол $F$. Следовательно, $$\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{FC}{FE}=\dfrac{FA}{FD}=\dfrac{FH}{FA}$$ Заметим, что $$\dfrac{FB}{FC} \cdot \dfrac{FC}{FE} = \dfrac{FA}{FD}\cdot \dfrac{FH}{FA}$$ А тогда $$\dfrac{FB}{FE}= \dfrac{FH}{FD}$$ По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезков, получаем, что прямая $BH$ параллельна прямой $ED$

б) $\angle BCD = 135^\circ$, тогда $\angle FDA = 45^\circ$. Значит $\Delta FAD$ — равнобедренный.

В $\Delta FAD$ $AH$ — высота и медиана, тогда $FH=AH=DH$. Значит $\dfrac{FH}{FD}=\dfrac{1}{2}$

Так как $BH \parallel ED$, то $\Delta FBH \sim \Delta FED$, тогда $$\dfrac{BH}{ED}=\dfrac{FB}{FE}=\dfrac{FH}{FD}=\dfrac{1}{2}$$ Получили, что $\dfrac{BH}{ED}=\dfrac{1}{2}$

Ответ: $\; 1:2$.