Тип 17 № 12928

а)

Углы $ABD$ и $ACD$ прямые, поэтому точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности с диаметром $AD$. Значит, $ABCD$ — вписанная трапеция. Тогда $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Тогда $AB=CD$.

б) Пусть $AH=x$, тогда $HD = 7+x$

$BH$ — высота в прямоугольном $\Delta ABD$, тогда $$BH^2=AH\cdot HD=x\cdot(7+x)$$

С другой стороны, из прямоугольного $\Delta ABH$: $$BH^2=AB^2-AH^2=4-x^2$$ Тогда $$x\cdot(7+x) = 4-x^2$$ Получим, что $x=\dfrac{1}{2}=AH$, откуда $AD = 2\cdot AH + BC=2\cdot\dfrac{1}{2}+7=8$

Ответ: $\; 8$.

Необходимая теория:

1. Если отрезок из двух точек виден под равными углами, то четыре точки, из которых виден отрезок, лежат на одной окружности.

2. Если вписанный в окружность угол прямой, то он опирается на диаметр этой окружности.

3. Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.

4. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, вычисляется по формуле $$h^2=a_c \cdot b_c,$$ где $h$ — высота, $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов на гипотенузу.