Тип 17 № 12929

а)

Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $$MD = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{3BC - BC}{2} = BC,$$ Далее, $$AM = AD - MD = 3BC - BC = 2BC,$$ откуда $$\dfrac{AM}{MD} =\dfrac{2BC}{BC}= \dfrac{2}{1}.$$ То есть, $M$ делит $AD$ в отношении $2:1$.

б) Из прямоугольного $\Delta ACM$: $$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{16\cdot 13-\dfrac{4}{9}\cdot 18}=8$$ Из прямоугольного $\Delta CMD$: $$CD=\sqrt{MD^2+CM^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10$$ Пусть $CM$ пересекает $BD$ в точке $O$.

Заметим, что $BC=MD, \; \angle BCO = \angle OMD = 90^\circ, \; \angle ODM = \angle OBC$, тогда $$\Delta OMD = \Delta OCB,\; \text{тогда } \; MO=OC, \; DO=OB$$ Значит, $CO$ — медиана треугольника $BCD$. По формуле медианы имеем: $$CO = \dfrac{1}{2}\sqrt{2BC^2+2CD^2-BD^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\cdot6^2 + 2\cdot 10^2 - 16\cdot13}=4$$

Ответ: $\; 4$.