Тип 14 № 13081

a) В прямоугольном треугольнике $ABC$ медиана $CO$ из вершины прямого угла равна половине гипотенузы $AB$, следовательно, $OA=OB=OC$. Прямоугольные треугольники $SOA$ и $SOC$ равны по двум катетам, так как $SO$ — общий катет и $OA=OC$, значит, их гипотенузы $SA=SC$.

б) Пусть $H$ — середина $AC$, тогда $OH \parallel BC$ как средняя линия в треугольнике $ABC$ и $\angle AHО=\angle ACB=90^\circ$. Проведем отрезок $SH$. Поскольку $SO \perp (ABC)$, то $OH$ — проекция наклонной $SH$ на плоскость $(ABC)$. Прямая $AC$ перпендикулярна проекции $OH$, а значит по теореме о трех перпендикулярах $AC$ перпендикулярна наклонной $SH$. Получили, что $$SH \perp (SAC),\quad SH \perp AC$$ и $$OH \subset (ABC),\quad OH \perp AC.$$ Тогда угол $SHO$ — острый угол в прямоугольном треугольнике $SHO$ и по определению является углом между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12.$$ По теореме Пифагора для треугольника $SAO$: $$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{SA^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $SHO$: $$tg\angle SHO=\frac{SO}{OH}=\frac{SO}{\frac{1}{2}BC}=\frac{24}{6}=4 \Rightarrow \angle SHO=arctg4.$$

Ответ: $б)\ arctg4$.