Тип 14 № 13082

а)

Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат, поэтому прямые $KN$ и $LM$ параллельны. Следовательно, прямая $LM$ параллельна плоскости $ABC$. Значит, прямые $LM$ и $AB$ лежат в плоскости $AD B$ и не имеют общих точек, тогда они параллельны. Таким образом, прямые $KN$, $LM$ и $AB$ параллельны. Аналогично, прямые $KL$, $MN$ и $CD$ параллельны. Прямые $KL$ и $LM$ взаимно перпендикулярны, поэтому прямые $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.

б) Расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN$ равно высоте тетраэдра $BKMN$, проведённой из точки $B$. Основанием данного тетраэдра является прямоугольный треугольник $KMN$, площадь которого равна $$S_{KMN} = \frac12 KN \cdot NM = \frac{9}{2}.$$

Следовательно, $$d(B, KMN) = h_b = \frac{3 V_{BKMN}}{S_{KMN}}.$$

Пусть отрезок $AH$ — высота тетраэдра $ABCD$, отрезок $KH_1$ — высота тетраэдра $BKNM$. Выразим объём тетраэдра $BKNM$ через объём тетраэдра $ABCD$: $$V_{BKNM} = \frac13 \cdot KH_1 \cdot S_{BMN} = \frac13 \cdot \frac{7}{10} AH \cdot \frac{9}{100} S_{BCD} = \frac{7}{100} \cdot V_{ABCD} = \frac{7}{100} \cdot 100 = \frac{63}{10}.$$

Подставим найденные значения: $$d(B, KMN) = \frac{3 V_{BKMN}}{S_{KMN}} = \frac{3 \cdot \frac{63}{10}}{\frac92} = \frac{42}{10} = 4{,}2.$$

Ответ: б) $4{,}2$.