Тип 14 № 13092

Дана пирамида ABCD, в которой AD=AC=BC=BD= $\sqrt{17}$ , AB=CD= $2\sqrt{5}$ .

а) Докажите, что ребро AB перпендикулярно ребру CD.

б) Найдите расстояние между ребрами CD и AB.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Решение:

а) Заметим, что треугольники $ACD$ и $BCD$ равны (по трем сторонам).

Они являются равнобедренными и имеют общее основание $CD$ .

Проведем медианы $AF$ и $BF$ к этому основанию. Они попадут в одну точку точку $F$ , которая является серединой $CD$ и будут являться высотами данных треугольников (так как они равнобедренные).

Тем самым, прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $BAF$ , а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая $CD$ перпендикулярна любой прямой плоскости $BAF$ . Значит, перпендикулярна прямой $AB$ . Ч.Т.Д.

б) Построим высоту $EF$ треугольника $BAF$ . Заметим, что $EF$ является общим перпендикуляром прямых $AB$ (по построению) и $CD$ , поскольку $EF$ лежит в плоскости $BAF$ . Тогда длина $EF$ и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $BA$ и $CD$ .

Заметим, что:

$AF=BF=\sqrt{17-5}=\sqrt{12} \text{ (по теореме Пифагора из треугольников CAF и CBD)}$

Тогда треугольник $AFB$ равнобедренный, его высота $EF$ является также медианой, а тогда из прямоугольного треугольника $BEF$ по теореме Пифагора находим:

$NM=\sqrt{BF^2-BE^2}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$ .