Тип 17 № 13123

а)

$N$ — середина $AB$, $\Delta ABC$ прямоугольный, значит $N$ — центр описанной окружности и $\Delta ANC$ — равнобедренный.

$$\angle NAC = \angle NCA$$

$$\angle ACL = 45^\circ \quad \text{тогда } \quad \angle LCN = \angle ACN - \angle ACL = \angle NAC - 45^\circ$$

$$\Delta CNL\; \text{ равнобедренный, тогда }\; \angle NCL=\angle NLC = \angle NAC - 45^\circ$$

Найдем $\angle LMB$: $$\angle LMB = \angle LCM + \angle CLM = 45^\circ + \angle NAC - 45^\circ = \angle NAC$$

$\text{То есть, } \; \angle LMB = \angle CAB$.

б) $CN = AN = \dfrac{1}{2}AB = 10$

Пусть $\angle BAC = \alpha$, ; тогда; $\angle CMN = 180^\circ - \angle NMB = 180^\circ - \alpha$

Найдем $\angle NCM$:
$$\angle NCM = \angle LCM - \angle LCN = 45^\circ - \alpha + 45^\circ = 90^\circ - \alpha$$

Тогда $$\angle CNM = 180^\circ -\angle NCM - \angle CMN = 2\alpha - 90^\circ$$ $$\angle LMC = 180^\circ - \angle LMB = 180^\circ - \alpha$$

По теореме синусов для $\Delta CMN$ получим: $$\dfrac{10}{\sin(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sin(2\alpha - 90^\circ)} \Longleftrightarrow \dfrac{10}{\sin \alpha} = \dfrac{3\sqrt{5}}{-\cos2\alpha} \Longleftrightarrow \dfrac{10}{\sin \alpha} = \dfrac{3\sqrt{5}}{2\sin^2 \alpha -1}$$

$$10 \cdot(2\sin^2 \alpha -1) - 3\sqrt{5}\sin \alpha = 0$$ $$20\sin^2 \alpha - 3\sqrt{5} \sin \alpha - 10 = 0$$

Тогда $$\sin \alpha = \dfrac{3\sqrt{5}+\sqrt{845}}{40} = \dfrac{3\sqrt{5}+13\sqrt{5}}{40}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$$

Получим что $$\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{4}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$$

$\Delta ABC$ — прямоугольный, тогда $$AC = AB\cdot\sin\alpha \quad \text{и} \quad BC = AB \cdot \cos\alpha$$

Тогда $$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BC=\dfrac{1}{2}AB\sin \alpha \cdot AB \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\cdot 20^2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}\dfrac{2}{\sqrt{5}}=80.$$

Ответ:    $80$