Тип 17 № 13124

а)

$\angle A_1BC = \angle A_1AC$, так как опираются на одну дугу, тогда: $$\angle A_1BB_1 =\angle A_1BC + \angle CBB_1 = \angle A_1AC + \angle CBB_1 = \dfrac{1}{2}\angle A + \dfrac{1}{2}\angle B = \dfrac{1}{2}(\angle A + \angle B)= 45^\circ.$$

б) Найдем угол $B \text{\;из\;} \Delta ABC$: $$\angle B = \angle C - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Найдем теперь $\angle B_1A_1A$: $$\angle B_1A_1A = \angle B_1BA = \dfrac{1}{2}\angle B= \dfrac{1}{2}\cdot 30^\circ = 15^\circ.$$

Далее найдем $\angle AA_1C_1$: $$\angle AA_1C_1 = \angle ACC_1 = \dfrac{1}{2}\cdot 90^\circ = 45^\circ,$$

$$\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1A_1A + \angle AA_1C = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ.$$

Тогда по теореме синусов в $\Delta B_1A_1C_1$: $$B_1C_1 = 2R\sin \angle B_1A_1C_1 = 2\cdot AB \sin \angle B_1A_1C_1 = 2\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3$$

Ответ:    $3$