Тип 17 № 13125

а)

В $\Delta ABC$:

Пусть $\angle A = 2\alpha, \; \angle B = 2\beta, \; \angle C = 2\gamma.$

Заметим, что $2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ$

$$\angle BPA = \angle ACB = 2\gamma, \text{\; так как опираются на одну дугу}.$$ $$\angle CAP = \angle CBP = \beta, \text{\; так как опираются на одну дугу}.$$

Тогда $$\angle AOP = 180^\circ - \alpha - \beta - 2\gamma = \alpha + \beta.$$

Кроме того, $\angle OAP = \alpha + \beta$, а значит $\angle OAP = \angle AOP \Longrightarrow \Delta AOP$ — равнобедренный.

Таким образом $$AP = OP.$$

б) $ABCP$ — вписанный четырехугольник $\Longrightarrow \angle ABC + \angle APC = 180^\circ$

Тогда $\angle APC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

$\cup AP = \cup PC = \dfrac{1}{2}\angle ACP$, тогда хорды $AP$ и $PC$ равны.

Тогда $\Delta APC$ — равносторонний.

Следовательно, можем найти $\rho (P, AC)$: $$\rho(P, AC) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}AC$$

По теореме синусов для $\Delta ABC$: $$AC = 2R \sin\angle ABC = 36\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}.$$

Значит, $\rho(P, AC)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 18\sqrt{3} = 27$

Ответ:    $27$.