Задание 17: Вписанные и описанные окружности в треугольниках — ЕГЭ по математике

Точка $O$ - центр вписанной в треугольник окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$ .

а) Докажите, что $\angle POC = \angle PCO$ .

б) Найдите площадь треугольника $APC$ , если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 8, а $\angle ABC =60^\circ$ .

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Решение:

а)

Так как $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, то лучи $BO$ и $CO$ — биссектрисы углов $ABC$ и $BCA$ соответственно.

Угол $POC$ является внешним для $\Delta BOC$ , тогда: $\angle POC = \angle BCO + \angle CBO = \dfrac{1}{2}\angle ACB + \dfrac{1}{2}\angle ABC$

Далее $\angle ABP = \angle ACP, \text{\;так как опираются на одну дугу}$

Тогда $\angle PCO = \angle ACP + \angle ACO = \angle ABP + \angle ACO = \dfrac{1}{2} \angle ABC + \dfrac{1}{2}ACB$

Получили, что $\angle POC = \angle PCO = \dfrac{1}{2}\angle ACB + \dfrac{1}{2}\angle ABC.$

б) $\angle PBC = \angle ABP = \dfrac{1}{2}\angle ABC = 30^\circ \quad (BP \text{ --- биссектриса})$ .

Тогда хорды $AP$ и $PC$ равны, так как стягивают равные дуги.

По теореме синусов в $\Delta ABP$ : $AP = 2R\sin \angle ABP = 2R\sin 30^\circ = 2\cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 8.$

$ABCP$ — вписанный, тогда $\angle APC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

Таким образом $S_{\Delta APC} = \dfrac{1}{2}AP \cdot PC \sin \angle APC = \dfrac{1}{2} \cdot 8^2\cdot \sin120^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}.$

Ответ: $16\sqrt{3}$ .