Задание 17: Вписанные и описанные окружности в треугольниках — ЕГЭ по математике

Из вершины $C$ прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$ проведена высота $CH$ .

а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках $AH$ и $BH$ соответственно как на диаметрах ровно $tg^4\angle ABC$ .

б) Пусть точка $O_1$ — центр окружности диаметра $AH$ , вторично пересекающей отрезок $AC$ в точке $p$ , а точка $O_2$ — центр окружности с диаметром $BH$ , вторично пересекающей отрезок $BC$ в точке $Q$ . Найдите площадь четырехугольника $O_1PQO_2$ , если $AC=22,\; BC=18$ .

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Решение:

а)

$CH$ — высота прямоугольного прямоугольника, тогда $CH = \sqrt{AH\cdot BH}$

Площади окружностей, построенных на диаметрах $AH$ и $BH$ , относятся как $\dfrac{AH^2}{HB^2}$

Из $\Delta CHB$ : $tg \angle HBQ = \dfrac{CH}{HB}$

Тогда $tg^4 \angle ABC = \dfrac{CH^4}{HB^4} = \dfrac{AH^2\cdot HB^2}{HB^4} = \dfrac{AH^2}{HB^2}.$

б) Углы $\angle PCQ = \angle CPH = \angle CQH = 90^\circ$ , значит $CPHQ$ — прямоугольник.

$S_{O_1PQO_2} = S_{\Delta HPO_1} + S_{\Delta PHQ} + S_{\Delta HQO_2}.$

Рассмотрим треугольники $APH$ и $O_1PH$ :

$PO_1$ — медиана прямоугольного $\Delta APH$ , ; так как $AO_1 = O_1H$ ,;как радиусы.

Тогда $S_{\Delta HPO_1} = \dfrac{1}{2}S_{\Delta APH}$

Аналогично, для треугольников $HQB$ и $HQO_2$ : $S_{\Delta HQO_2} = \dfrac{1}{2}S_{\Delta HQB}$

Далее, $PHQC$ — прямоугольник, а $PQ$ — диагональ, тогда $S_{\Delta PHQ} = \dfrac{1}{2}S_{PHQC}$

Заметим, что $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta APH} + S_{PHQC} + S_{\Delta HQB}.$

А площадь искомого четырехугольника: $S_{O_1PQO_2} = \dfrac{1}{2}S_{\Delta APH} + \dfrac{1}{2}S_{PHQC} + \dfrac{1}{2}S_{\Delta HQB} = \dfrac{1}{2}S_{\Delta ABC}$

Следовательно $S_{O_1PQO_2} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \dfrac{1}{2}\cdot 22 \cdot 18 =99$

Ответ: $99$ .