Тип 17 № 13160

а)

Так как $\angle AMN + \angle ACN = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, то точки $A, M, N, C$ лежат на одной окружности с диаметром $AN$.

Тогда $$\angle CAN = \angle CMN,\; \text{так как опираются на одну дугу \(CN\)}.$$

б) Заметим, что $$\angle MAN =\angle MCN, \; \text{так как опираются на одну дугу \(MN\)}$$

Тогда $\Delta ANB \sim \Delta CBM$ по двум равным углам.

Коэффициент подобия $k$ можно найти из отношения сторон $AB$ и $BC$.

Известно, что $\tg\angle BAC = \dfrac{4}{3}$. Пусть $BC = 4x, AC=3x$.

В прямоугольном $\Delta ABC$: $$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2}=\sqrt{(4x)^2 + (3x)^2}=5x$$

Тогда $$k =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5x}{4x}=\dfrac{5}{4}$$

Треугольники $ANB$ и $CBM$ подобны. Тогда $\dfrac{AN}{CM}=k=\dfrac{5}{4}$.

Обозначим радиусы описанных окружностей, вокруг соответствующих треугольников, как $R_{ANB}$ и $R_{CBM}$.

Применим теорему синусов к нашим треугольникам.

Для $\Delta ANB$: $$\dfrac{AN}{\sin \angle B} = 2R_{ANB}.$$

Для $\Delta CBM$: $$\dfrac{CM}{\sin \angle B} = 2R_{CBM}.$$ Треугольники подобны, угол $B$ у них общий. Поделим первое равенство на второе: $$\dfrac{2R_{ANB}}{2R_{CBM}} = \dfrac{\dfrac{AN}{\sin \angle B}}{\dfrac{CM}{\sin \angle B}} = \dfrac{AN}{CM}.$$ То есть $$\dfrac{R_{ANB}}{R_{CBM}} = \dfrac{AN}{CM} = k = \dfrac{5}{4}$$

Следовательно, радиусы окружностей относятся, как $5:4$.

Ответ: $\; 5:4$.