Тип 17 № 13161

а)

$N$ — точка касания окружности и стороны $AB$, значит $ON \perp AB$.

$\angle BCO + \angle BNO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, тогда четырехугольник $CONB$ вписан в окружность.

Тогда углы $\angle NBO$ и $\angle NCO$ равны как вписанные, которые опираются на одну дугу $NO$.

Далее $$\angle ANM =\angle NCO, \text{\; как углы между касательной и хордой}$$

Получим, что $\angle NBO = \angle ANM$.

Тогда $MN \parallel BO$ при соответственных $\angle NBO$, $\angle ANM$ и секущей $AB$.

б) Пусть $AM=2x$, тогда $MC=6x$, а $MO=ON=OC=3x$

По теореме Пифагора в $\Delta OAN$: $$AN^2 = 25x^2 - 9x^2 = 16x^2 \quad \Longrightarrow \quad AN = 4x$$

$BC = BN$, как отрезки касательных, проведенных из одной точки.

Пусть $BC = BN = y$, тогда по теореме Пифагора в $\Delta ABC$: $$AB^2 = BC^2 + AC^2 \; \Longleftrightarrow \; (y + 4x)^2 = y^2 + (8x)^2 \; \Longrightarrow \; y=6x$$

$BC = BN,\; OC=ON$, значит $BCON$ — дельтоид. Выразим его площадь $$S_{BCON} = 2S_{BCO} =2\cdot\dfrac{1}{2}BC\cdot CO =2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3x \cdot 6x = 18x^2$$ С другой стороны $$S_{BCON} = \dfrac{1}{2}CN\cdot BO = \frac{1}{2} \cdot CN \cdot \sqrt{OC^2 + BC^2}=\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{(3x)^2 + (6x)^2}=12x\sqrt{5}$$ Получили, что $$18x^2=12x\sqrt{5} \; \Longrightarrow \; x = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}$$

Далее, $S_{BOMN} = S_{AOB} - S_{AMN}$

Рассмотрим $\Delta ABC$ и $\Delta AOB$. У них общий угол $A$ и общая высота $BC$, тогда $$\dfrac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{5x}{8x}=\dfrac{5}{8}$$

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AC\cdot BC = \dfrac{1}{2}\cdot 8x \cdot 6x = 24x^2 = \dfrac{160}{3} \; \Longrightarrow \; S_{AOB} = \dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{160}{3} = \dfrac{100}{3}$$

Рассмотрим $\Delta ANM$ и $\Delta ABO$. Они подобны, так как $MN \parallel BO$.

Тогда $$\dfrac{S_{ANM}}{S_{ABO}}=k^2=\left( \dfrac{AM}{AO} \right)^2 =\left( \dfrac{2}{5} \right )^2 = \dfrac{4}{25}$$ Значит $$S_{ANM} = \dfrac{4}{25}S_{ABO} = \dfrac{4}{25}\cdot \dfrac{100}{3} = \dfrac{16}{3}$$

Найдем площадь искомого четырехугольника: $$S_{BOMN} = S_{AOB} - S_{AMN} = \dfrac{100}{3}-\dfrac{16}{3}=28.$$

Ответ: $\; 28$.