Задание 17: Вписанные и описанные окружности в треугольниках — ЕГЭ по математике

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$ .

б) Найдите длину стороны $BC$ и радиус описанной окружности, если $B_1C_1 = 5$ , $\angle A = 30^\circ$ , а площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$ .

Решение:

а)

Заметим, что $CB_1C_1B$ — вписанный четырехугольник.

Пусть $\angle CBA = \alpha$ , тогда $\angle CBC_1 = 180^\circ - \alpha$

$\angle C_1B_1A = 180^\circ \angle CBC_1 = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$

Так как в треугольниках $ABC$ и $AB_1C_1\; \angle A$ — общий и $\angle C_1B_1A = \angle CBA$ , то $\Delta ABC \sim \Delta AB_1C_1$ по двум равным углам.

б) $\quad \dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{BCB_1C_1}}=\dfrac{1}{5} \text{,\quad тогда} \quad \dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{6} \; \text{и коэффициент подобия}\; k = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$ .

Тогда $BC = \sqrt{6}\cdot B_1C=5\sqrt{6}$ .

Пусть $\angle CC_1B=\alpha$ . Он внешний для $\Delta CAC_1$ , тогда $\angle ACC_1 = \angle CC_1B - \angle CAC_1 = \alpha-30^\circ$

По теореме синусов для $\Delta CB_1C_1$ и $\Delta CC_1B$ : $\dfrac{B_1C_1}{\sin \angle B_1CC_1} = 2R = \dfrac{CB}{\sin \angle CC_1B}$

$\dfrac{5}{\sin (\alpha - 30^\circ)} = 2R = \dfrac{5\sqrt{6}}{\sin \alpha}$

$\sin (\alpha - 30^\circ) = \dfrac{\sin \alpha}{\sqrt{6}}$

$\sin \alpha \cos (-30^\circ) + \cos \alpha \sin (-30^\circ) = \dfrac{\sin \alpha}{\sqrt{6}}$

$\sin \alpha \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos \alpha \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sin \alpha}{\sqrt{6}}$

$\sin \alpha \left( \sqrt{3} - \dfrac{2}{\sqrt{6}} \right) =\cos \alpha$

Так как $\alpha < 180^\circ$ , то $\sin \alpha >0$ $\sqrt{1-\cos^2 \alpha}\left( \sqrt{3} - \dfrac{2}{\sqrt{6}} \right)=\cos \alpha, \quad \cos \alpha \ge 0$ $(1-\cos^2 \alpha)\left(3 -2\sqrt{2} + \dfrac{2}{3} \right) = \cos^2\alpha$ $(1-\cos^2 \alpha)\left(\dfrac{11}{3} -2\sqrt{2}\right)=\cos^2\alpha$ $-11+6\sqrt{2}=\cos^2\alpha(-14+6\sqrt{2})$ $\cos^2\alpha = 1+\dfrac{3}{-14+6\sqrt{2}}$ $\sin^2\alpha = 1 - 1 -\dfrac{3}{-14+6\sqrt{2}} = \dfrac{3}{14-6\sqrt{2}}$ $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{14-6\sqrt{2}}}$ $R=\dfrac{5\sqrt{6}}{2\sin\alpha}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{14-6\sqrt{2}}}}=5\sqrt{7-3\sqrt{2}}$

Ответ: $\; 5\sqrt{7-3\sqrt{2}}$ .