Тип 17 № 13164

а)

$B_1O = OB$, так как точка $O$ лежит на биссектрисе, и точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно $CO$.

Пусть $\angle OBB_1 = \angle OB_1B = \alpha$, ; $\angle CBO = \angle ABO = \beta$

Пусть $CO$ пересекает $BB_1$ в точке $H$, тогда $BH=HB_1$ и $CH \perp BB_1$.

$\angle HCB = 90^\circ - \angle HBC = 90^\circ - \alpha - \beta$ = $\angle ACH$

В треугольнике $CHB_1$: $$90^\circ + (90^\circ - \alpha - \beta) + (\angle CBO + \alpha) = 180^\circ,$$ получим, что $\angle CB_1O = \beta$.

Таким образом, отрезок $AO$ виден под равными углами $AB_1O$ и $ABO$, значит точки $A, B, O$ и $B_1$ лежат на одной окружности.

б)

$CB_1=CB=8$, так как т.$B_1$ равноудалена от т.$B$ относительно биссектрисы.

Заметим, что $S_{AOBB_1} = S_{BCB_1} - (S_{ACC} + S_{COB})$.

Высоты треугольников $AOC$ и $AOB$ равны радиусу окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем выполнено соотношение $AB^2 = AC^2 + BC^2$, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, $\Delta ABC$ — прямоугольный и угол $C$ прямой.

Тогда $$r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \dfrac{6+8-10}{2}= 2$$ Следовательно, $$S_{AOBB_1} = \dfrac{1}{2}CB\cdot CB_1 - \left(\dfrac{1}{2} AC \cdot r + \dfrac{1}{2}BC \cdot r \right) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 - \left( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 \right) = 32 - (6 + 8) = 18$$

Ответ: $\; 18$.