Окружность касается стороны остроугольного треугольника и делит каждую из сторон и на три равные части.
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону .
Источник: ЕГЭ 2019, основная волна
Решение:
а)
По теореме о двух секущих:
Пусть , тогда и положительные величины, следовательно, быть не может. Значит .
. А так как , то , тогда — равнобедренный.
б)
Пусть — точка касания окружности со стороной треугольника .
По свойству касательной и секущей: Тогда
Пусть — высота треугольника .
В прямоугольном : Тогда
Таким образом, .
Ответ: .