Задание 17: Вписанные и описанные окружности в треугольниках — ЕГЭ по математике

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$ . Отрезок $AP$ — диаметр окружности, описанной около треугольника $ABC$ .

а) Докажите, что прямая $HP$ пересекает отрезок $BC$ в его середине.

б) Пусть $PH$ вторично пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$ , в точке $M$ . Найдите длину отрезка $MC_1$ , если расстояние от центра этой окружности до прямой $BC$ равно $4$ , $\angle BPH = 120^\circ$ .

Источник: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Решение:

а)

Проведем $PB$ и $PC$ . Так как $AP$ — диаметр, то углы $PCA$ и $PBA$ — прямые.

Заметим, что $PC \perp AC$ и $BB_1 \perp AC$ , тогда $PC \parallel BB_1$ .

Аналогично, $PB \perp AB$ и $CC_1 \perp AB$ , тогда $PB \parallel CC_1$ .

Тогда $BPCH$ — параллелограмм, а его диагонали $BC$ и $PH$ точкой пересечения делятся пополам.

б)

Пусть точка $O$ — центр окружности. Проведем $OK$ перпендикулярно $BC$ , тогда $OK=4$ .

Треугольник $OBC$ равнобедренный, так как $OB = OC$ , как радиусы. Значит $OK$ еще и медиана.

$H$ — точка пересечения высот, поэтому $AH \perp BC$ , также $OK \perp BC$ , значит $AH \parallel OK$ .

Рассмотрим треугольник $AHP$ : $AH \parallel OK, \; HK=KP$ Значит, $OK$ — средняя линия треугольника $AHP$ . Тогда $AH = 2OK = 8$ .

Угол $AMP$ — прямой, так как опирается на диаметр $AP$ .

Угол $HC_1A$ — прямой, так как $CC_1$ — высота. Тогда четырехугольник $AC_1HM$ вписан в окружность с диаметром $AH$ .

Углы $C_1HM$ и $BPH$ равны как соответственные, при параллельных $BP$ и $C_1H$ и секущей $MP$ .

$\angle C_1AM =180^\circ - \angle C_1HM= 180^\circ - \angle BPM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.$

По теореме синусов для треугольника $C_1AM$ : $MC_1 = 2R \sin \angle C_1AM =AH\cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}.$

Ответ: $\; 4\sqrt{3}$ .