Тип 17 № 13169

а)

По теореме, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$. Пусть радиус вписанной в него окружности равен $r$. Тогда $$r = \dfrac{AC + BC - AB}{2} = \dfrac{12 + 16 - 20}{2} = 4.$$ Пусть $K$ — середина катета $BC$. Тогда $KM$ и $MN$ — средние линии треугольника $ABC$. Расстояние между прямыми $KM$ и $AC$ равно длине отрезка $MN$, то есть 8. То есть $\rho(KM, AC)=8=2r$. Следовательно, эта окружность касается средней линии $KM$.

б) Треугольник $AMN$ прямоугольный с прямым углом $N$, тогда центр окружности, описанной около $AMN$ — отрезка $AM$. Пусть точка $Q$ — центр этой окружности. $$R_{AMN}=AQ=\dfrac{AM}{2}=\dfrac{AB}{4}=5$$ Пусть окружность, вписанная в $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Тогда $$CF = r = 4$$ $$AE = AF = AC - CF = 12 - 4 = 8$$ $$EQ = AE - AQ = 8 - 5 = 3$$ Угол $OEQ$ — прямой, так как $OE$ — радиус, $E$ — точка касания. В прямоугольном $\Delta OEQ$: $$OQ = \sqrt{OE^2 + EQ^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

Пусть $L$ — одна из точек пересечения рассматриваемых окружностей. Общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Тогда искомое расстояние равно удвоенной высоте $LH$ треугольника $OLQ$ с известными сторонами $OL=r = 4$, $QL = 5$, $OQ = 5$.

$OLQ$ равнобедренный, тогда $LH$, является и высотой, и медианой, тогда $$QT = \sqrt{LQ^2 - LT^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$$ Выпишем площадь $\Delta OLQ$: $$S_{OLQ}=\dfrac{1}{2} OQ \cdot LH = \dfrac{1}{2} OL \cdot QT$$ Тогда $$LH = \frac{OL \cdot QT}{OQ} = \frac{4\sqrt{21}}{5}.$$

Следовательно, искомое расстояние равно $2LH = \dfrac{8\sqrt{21}}{5}$.

Ответ: $\; \dfrac{8\sqrt{21}}{5}$.