Задание 17: Вписанные и описанные окружности в треугольниках — ЕГЭ по математике

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$ ). В окружности проведён диаметр $AC$ .

а) Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$ .

б) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC$ , если $AD = 4$ и $AB = 5$ .

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Решение:

а)

Пусть точка $O$ — центр окружности, а прямая $EO$ пересекает $BC$ в точке $Q$ .

Радиус $OE$ , проведен в точку касания, тогда $OE \perp DE$ . Также $AB \perp DE$ , следовательно, прямые $EO$ и $AB$ параллельны.

Угол $CBA$ — прямой, так как опирается на диаметр, тогда $CB \perp DB$ . Также $ED \perp DB$ , следовательно, $CB \parallel ED$ .

Получили, что четырехугольник $BQED$ — прямоугольник.

Треугольник $COB$ равнобедренный, так как $OC=OB$ , как радиусы. $OQ \perp CB$ , тогда $OQ$ еще и медиана в этом треугольнике. Значит $BC=2BQ=2DE$ .

б) По теореме о касательной и секущей: $DE^2 = AD \cdot (AD + AB) = 4 \cdot (4 + 5) = 36,$ Значит, $DE = 6$ . Тогда $BC = 2DE = 12$ .

По теореме Пифагора для $\Delta ADE$ : $AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13}$ По теореме Пифагора для $\Delta ABC$ : $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}= \sqrt{25 + 144} = 13$ Угол $AEC$ — прямой, так как опирается на диаметр. По теореме Пифагора для $\Delta AEC$ : $CE = \sqrt{AC^2 - AE^2} = \sqrt{169 - 52} = 3\sqrt{13}$ Опустим высоту $EH$ на сторону $AC$ . $EH$ — высота прямоугольного треугольника $AEC$ , проведенная из вершины прямого угла, тогда $EH=\dfrac{CE\cdot AE}{AC} = \dfrac{3\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13}}{13}=6$

Ответ: $\; 6$ .