Тип 17 № 13172

а)

Пусть высота трапеции равна $2h$, тогда $\rho(M, AD) = \rho(M, BC) = h$. Следовательно,

$$S_{ABM} = S_{ABCD} - S_{BCM} - S_{ADM} = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot 2h - \dfrac{1}{2}BC \cdot h - \frac{1}{2}AD \cdot h = \dfrac{1}{2}(AD + BC)h =$$ $$= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{AD+BC}{2}\cdot2h = \dfrac{1}{2}S_{AMD}.$$

б)

Пусть $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$. $BC = \dfrac{1}{2}AD$, поэтому $BC$ — средняя линия треугольника $AED$.

Заметим, что $S_{AKD} = 2S_{BKC}$. Тогда $$\dfrac{1}{2}AD \cdot \rho(K, AD) = 2 \cdot \dfrac{1}{2}BC \cdot \rho(K, BC)$$

Так как $AD = 2BC$, то $\rho(K, AD) = \rho(K, BC)$. Таким образом, точка $K$ лежит на средней линии трапеции. Значит $K$ — середина $CD$.

Опустим перпендикуляры $DH_1$ и $KH_2$ к $AB$ Из подобия прямоугольных треугольников $DH_1E$ и $KH_2E$, имеем:

$$\rho(K, AB) : \rho(D, AB) = KE : DE$$

Таким образом,

$$\rho(K, AB) = 10 \cdot \dfrac{KE}{DE} = 10 \cdot \dfrac{KC + CE}{2CD} = 10 \cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}CD + CD}{2CD} = 10 \cdot \dfrac{3}{4} = 7\dfrac{1}{2}$$

Ответ: $\; 7\dfrac{1}{2}$.