Тип 17 № 13181

а)

$EF$ параллельна $CD$, а $FC = ED$, значит $FCDE$ — равнобедренная трапеция.

Углы $FEA$ и $CDE$ равны, как соответственный при параллельных $FC$ и $ED$ и секущей $AD$.

Тогда $\angle FAD = \angle CDE = \angle FEA$.

Пусть угол $\angle AFE = 2\alpha$. Тогда $\angle FAE =\dfrac{180^\circ - 2\alpha}{2}= 90^\circ - \alpha=\angle CDE = \angle DCF$.

Далее, $$\angle BCD = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ + \alpha.$$ Таким образом, $$\angle BCF =\angle BCD - \angle DCF = 90^\circ + \alpha - (90^\circ - \alpha) = 2\alpha = \angle AFE.$$ Получили, что $\angle BCF = \angle AFE = 2\alpha$.

б) Пусть $BF = x$, тогда $DE = CF = 5x$. Пусть $\angle D = \beta$.

В трапеции $FCDE$ проведем высоты $EH$ и $FG$. Она равнобедренная, тогда $$CD =DH + HG + GC =2\cdot DH + HG =2DE\cdot \cos \angle D + HG =2 \cdot 5x \cos \beta + 8, \quad AB = 8 + x,$$ следовательно, $$10x \cos \beta + 8 = 8 + x \Rightarrow \cos \beta = \frac{1}{10}.$$ Пусть $EH$ — высота трапеции, тогда $$EH = ED \cdot \sin \beta =ED \cdot \sqrt{1-\cos^2 \beta}= 5x \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{100}} = \frac{x \sqrt{99}}{2} = \frac{3 \sqrt{11}x}{2}$$ Найдем площадь трапеции $CFED$: $$S_{CFED} = \dfrac{FE + CD}{2} \cdot EH = \dfrac{8 + 8 + x}{2} \cdot \dfrac{3 \sqrt{11}x}{2} = 27 \sqrt{11}$$ Тогда $$x(x + 16) = 36 \; \Rightarrow \; x = 2$$

Из равнобедренного $\Delta AFE$: $AE$: $AE = 2AF \cdot \cos \beta = 1{,}6$, следовательно, $AD = 5 \cdot 2 + 1{,}6 = 11{,}6$. Аналогичным способом можем найти длину $BC$: $$BC = AD - 2CD \cdot \cos \beta = 11{,}6 - 2 = 9{,}6$$ Найдем высоту трапеции $ABCD$ $$CD \cdot \sin \beta = 10 \cdot \dfrac{3\sqrt{11}}{10} = 3\sqrt{11}$$ Тогда $$S_{ABCD} = \dfrac{9{,}6 + 11{,}6}{2} \cdot 3\sqrt{11} = \dfrac{159\sqrt{11}}{5}.$$

Ответ: $\; \dfrac{159\sqrt{11}}{5}$.