Тип 17 № 13183

а)

Обозначим высоту трапеции через $h$. Тогда расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно $\dfrac{h}{2}$.

Значит, $$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{AD}{2} = S_{CED}.$$ Заметим, что $$S_{AMD} = S_{AMOE} + S_{EOD}, \quad S_{CED} = S_{COD} + S_{EOD},$$ Следовательно, $$S_{AMOE} = S_{COD}.$$

б)

Пусть $K$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MD$.

Углы $KBM$ и $MAD$ равны, как накрест лежащие при параллельных прямых $KC$ и $AD$ и секущей $AB$.

Углы $BMK$ и $AMD$ равны как вертикальные, также $AM = BM$.

Значит, треугольники $AMD$ и $BMK$ равны по стороне и прилежащим к ней углам, откуда $$BK = AD = 4.$$

Углы $\angle KOC$ и $\angle DOE$ равны как вертикальные, $$\angle OED = \angle OCK$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $KC$ и $AD$ и секущей $CE$. Значит, треугольники $KOC$ и $DOE$ подобны по двум углам, откуда $$\frac{OE}{OC} = \frac{ED}{CK} = \frac{2}{7}.$$ Следовательно, $$S_{AMOE} = S_{COD} = \frac{7}{9}S_{CDE} = \frac{7}{9} \cdot h = \frac{2}{9} \cdot \frac{7h}{2} = \frac{2}{9}S_{ABCD}$$

Ответ: $\; \dfrac{2}{9}$.