Тип 17 № 13187

а)

Пусть $BB_1$ и $CH$ — высоты трапеции $ABCD$. Тогда $AB_1 = HD$. Тогда $$2CH = AD - BC = \dfrac{1}{2}AD,$$ А значит $$CH = \dfrac{1}{4}AD,$$ что и требовалось доказать.

б) $\angle BOC = \angle AOD$, как вертикальные. $\angle ODA = \angle OBC$, как накрест лежащие.

Тогда треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны по двум равным углам с коэффициентом $k=AD : BC = 2$.

Из прямоугольного $\Delta ABB_1$: $$BB_1 = \sqrt{AB^2-AB_1^2}=\sqrt{10^2 - 8^2} = 6$$ Из прямоугольного $\Delta BB_1D$: $$BD = \sqrt{BB_1^2+B_1D^2}=\sqrt{6^2 + 24^2} = 6\sqrt{17}$$ Из подобия $AOD$ и $BOC$: $$\dfrac{BO}{OD}=2 \; \Rightarrow \; OD = \dfrac{2}{3}BD = 4\sqrt{17}, \quad OC = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3}BD = 2\sqrt{17}$$ По формуле для медианы находим искомое расстояние: $$\dfrac{1}{2}\sqrt{2OC^2 + 2CD^2 - OD^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 17 + 2 \cdot 100 - 16 \cdot 17} = 4$$

Ответ: $\; 4$.