Задание 17: Трапеции — ЕГЭ по математике

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$ , пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки $M$ , $N$ , $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $MPQ$ , если прямая $DP$ перпендикулярна прямой $PC$ , $AB = 25$ , $BC = 3$ , $CD = 28$ , $AD = 20$ .

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Решение:

а)

Пусть $\angle BAD = \alpha$ , тогда $\angle ABC=180-\alpha$

$BPQC$ — вписанный четырехугольник, тогда $\angle CQP = \alpha$ , $\angle PQN = 180-\alpha$ , как смежный.

Точки $M$ и $N$ середины $AB$ и $CD$ соответственно, значит $MN$ — средняя линия трапеции и $MN \parallel AD$ .

$\angle BMN = \angle BAD = \alpha$ как соответственные.

Получили, что $\angle PMN + \angle PQN = \alpha + 180^\circ - \alpha = 180^\circ$ Значит, точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности

б) Заметим, что $PN$ — медиана прямоугольного $\Delta CPD$ . Тогда $PN = \dfrac{1}{2}CD = 14$ .

Проведем прямую через точку $B$ параллельно $CD$ . Она пересечет $AD$ в точке $T$ . Получим, что $TBCD$ — параллелограмм, $BT=CD=3$ . $BT = CD =28$ , также $AT=AD-TD=20-3=17$ .

По теореме косинусов в $\Delta ABT$ : $\cos \alpha = \dfrac{AB^2+AT^2-BS^2}{2\cdot AB \cdot AT} = \dfrac{25^2+17^2-28^2}{2\cdot25\cdot17} = \dfrac{13}{85}$ $\sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha} = \dfrac{84}{85}$ По теореме синусов в $\Delta PMN$ : $R = \dfrac{PN}{2\sin \alpha} = \dfrac{14}{2\cdot \dfrac{84}{85}} = \dfrac{85}{12}$

Ответ: $\; \dfrac{85}{12}$ .