Тип 17 № 13195

а)

Пусть $K$ — точка пересечения $AB$ и $CD$.

$BC \parallel AD, \; BC= \dfrac{1}{2}AD$, значит $BC$ — средняя линия $\Delta AKD$.

Далее, $MB$ — медиана и высота в $\Delta AMK$, значит он равнобедренный и $AM=MK$.

Также $MC$ — медиана и высота в $\Delta DMK$, значит он равнобедренный и $DM=MK$.

Таким образом, $AM=DM$.

б) Опустим высоту $MH$ на сторону $AD$. Так как $\Delta AMD$ равнобедренный, то $MH$ еще и медиана.

Значит, $AH=HD=\dfrac{AD}{2}$

Пусть $BC=x,$ тогда $AD=2x, AH=HD=MH=x$.

Треугольники $AMH$ и $DMH$ прямоугольные и равнобедренные, тогда $\angle MAD = \angle MDA = 45^\circ$.

$$\angle MDC = \angle ADC - \angle MDA = 55^\circ - 45^\circ = 10^\circ$$

Так как $\Delta DMK$ — равнобедренный, то $\angle MDC = \angle MKD = 10^\circ$.

Также $\Delta AMK$ — равнобедренный, значит $\angle KAM = \angle AKM$

В треугольнике $AKD$: $$\angle MAD + \angle MDA + \angle MDC + \angle MKD + \angle KAM + \angle AKM = 180^\circ$$ $$45^\circ +45^\circ + 10^\circ + 10^\circ + 2\cdot\angle KAM = 180^\circ$$ $$\angle KAM = 35^\circ$$ Тогда $$\angle BAD =\angle KAM + \angle MAD = 35^\circ + 45^\circ= 80^\circ$$

Ответ: $\; 80^\circ$.