Тип 17 № 13197

а)

$AD$ — диаметр, а $\angle BAD=90^\circ$, тогда $AB$ — касательная к окружности, а $\angle BAM$ — угол между хордой и касательной. Значит $\angle BAM = \dfrac{\cup AM}{2}$

$AMCD$ — вписанная трапеция, значит равнобедренная, тогда $AM = CD$.

$\angle CAD = \dfrac{\cup CD}{2}$, как вписанный

Так как равные хорды стягивают равные дуги, то $\cup AM = \cup CD$, значит углы $BAM$ и $CAD$ равны

б) По теореме о касательной и секущей: $$AB^2=BC \cdot BM = 4BM \cdot BM = 4BM^2$$ $$6^2 =4BM^2 \quad \Rightarrow \quad BM = 3$$ Тогда $BC=12, CM=9$

Из прямоугольного $\Delta AMB$: $$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$$ Из прямоугольного $\Delta ABC$: $$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}$$ Из прямоугольного $\Delta ACD$: $$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{AC^2+AM^2}=\sqrt{(6\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2}=15$$ Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$: $$\angle OAD = \angle OCB, \text{как накрест лежащие}$$ $$\angle AOD = \angle COB, \text{как вертикальные}$$ Значит $\Delta AOD \sim \Delta COB$ по двум равным углам. Тогда $$\dfrac{CO}{OA}=\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$$ $\dfrac{BO}{OD} = \dfrac{4}{5}$, тогда $\dfrac{BO}{BD} = \dfrac{4}{9}$

Рассмотрим треугольники $BOA$ и $BAD$, у них общая высота из угла $A$. Значит их площади относятся также, как относятся их основания, то есть $\dfrac{S_{BOA}}{S_{BAD}}=\dfrac{BO}{BD}=\dfrac{4}{9}$.

Найдем площадь $S_{BAD}$: $$S_{BAD} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AD=\dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 15 = 45$$ Тогда $$S_{BOA} = \dfrac{4}{9}S_{BAD} = \dfrac{4}{9}\cdot 45 = 20$$

Ответ: $\; 20$.