Тип 17 № 13198

а)

Проведем прямую через точку $C$ параллельно $BD$, она пересечет прямую $AD$ в точке $M$. Получим, что $BCMD$ — параллелограмм.

В треугольнике $ACM$: $$AC=15, \; CM = BD =8, \; AM = AD + DM = 17$$ По теореме, обратной теореме Пифагора: $$AC^2 + CM^2 = AM^2 \; \Leftrightarrow \; 225+64=289$$ Тогда $\Delta ACM$ — прямоугольный и $\angle OCM = 90^\circ$.

$MC \perp AC, \; BD \parallel MC \quad \Rightarrow \quad BD \perp AC$, что и требовалось доказать.

б) $$S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \angle AOD = \dfrac{1}{2}\cdot 15 \cdot 8 \cdot 1 = 60$$

Ответ: $\; 60$.