Тип 17 № 13201

а)

$O$ — центр окружности, $BC, AB, AD$ — касательные, тогда $AO$, $BO$ — биссектрисы, также $CO$ и $DO$ — биссектрисы.

$$\angle ADC + \angle DCB = 180^\circ \quad \angle COD = \dfrac{1}{2}\angle ADC + \dfrac{1}{2}\angle DCB=90^\circ$$ $$\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ \quad \angle AOB = \dfrac{1}{2}\angle BAD + \dfrac{1}{2}\angle ABC=90^\circ$$ Тогда $$\angle AOD = 360^\circ - \angle AOB - \angle COD -\angle BOC = 180^\circ - \angle BOC$$ Таким образом $$\sin \angle AOD = \sin (180^\circ - \angle BOC) = \sin \angle BOC$$

б) В $\Delta COD$ проведем радиус $OH$ в точку касания. Получим, что $OH$ — высота в прямоугольном $CD$ $$OH^2 = CH\cdot HD$$ Проведем радиусы $OK$ и $OM$ в точки касания со сторонами $BC$ и $AD$.

$CK=CH, \; DM = DH$, как отрезки касательных

Пусть радиус окружности равен $r$, тогда $BK=AM=OK=OM=OH=r$. $$CK=CH=5-r \quad DH = DM=7-r$$ Тогда $$OH^2=CH\cdot HD \quad \Leftrightarrow \quad r^2 = (5-r) \cdot (7-r)$$ $$r^2 = 35-7r-5r+r^2$$ $$r=\dfrac{35}{12}$$ Получим, что $AB=2r=\dfrac{35}{6}$, $AB$ — высота трапеции. Тогда $$S_{ABCD} = \dfrac{BC+AD}{2}\cdot AB = \dfrac{5+7}{2}\cdot \dfrac{35}{6} =35$$

Ответ: $\; 35$.