Тип 17 № 13202

а)

Пусть прямая, проходящая через точку $O$ параллельно $BC$, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

Так как $AO$ и $CO$ — биссектрисы, то $\angle MAO = \angle OAD$ и $\angle BCO = \angle NCO$.

$\angle OAD = \angle MOA$ и $\angle BCO = \angle CON$, как накрест лежащие углы. Значит $$AM = MO \quad \text{и} \quad CN = ON$$ $ABCD$ — равнобедренная трапеция, тогда $$AM = ND \quad \text{и} \quad BM = CD$$ Тогда $$CD=CN+ND=NO + AM = NO +MO =MN$$ Получили, что $CD=MN$.

б) Пусть $AM = 2x$, $MB = 3x$, а $\angle AMO = \alpha$, тогда $\angle CNO = \angle BMO = 180^\circ - \alpha$.

В $\Delta AMO$ по теореме косинусов: $$AO^2 = AM^2 + MO^2 - 2 \cdot AM \cdot MO \cdot \cos \alpha = 4x^2 + 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 2x \cdot \cos \alpha = 8x^2 - 8x^2 \cos \alpha.$$ В $\Delta CNO$ по теореме косинусов: $$OC^2 = CN^2 + NO^2 - 2 \cdot CN \cdot NO \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 9x^2 + 9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 3x \cdot (-\cos \alpha) = 18x^2 + 18x^2 \cos \alpha$$ Так как $AO = OC$, то $$8x^2 - 8x^2 \cos \alpha = 18x^2 + 18x^2 \cos \alpha$$ Тогда $$\cos \alpha = -\dfrac{5}{13}$$ Получили, что $\cos \angle BAD = \dfrac{5}{13}$.

Опустим высоту $BH$ на сторону $MN$, из прямоугольного $\Delta MBH$: $$MH = MB\cdot \cos \angle BMH = 3x \cdot \dfrac{5}{13} = \dfrac{15x}{13}$$ $BC = MN - 2MH = 5x - 2 \cdot \dfrac{15x}{13} = \dfrac{35x}{13}$ Из прямоугольного $\Delta AMK$: $$AK =AM\cdot \cos \angle MAK = 2x \cdot \dfrac{5}{13} = \dfrac{10x}{13}$$ Получим, что $$AD = MN + 2AK = 5x + 2 \cdot \dfrac{10x}{13} = \dfrac{85x}{13}$$ Тогда $$\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{\dfrac{35x}{13}}{\dfrac{85x}{13}} = \dfrac{7}{17}$$

Ответ: $\; 7:17$.