Тип 17 № 13206

а)

Так как равные хорды стягивают равные дуги, то $$\angle BCA = \angle DEC \quad \text{и} \quad \angle BAC = \angle DCE$$ Тогда и углы $ABC$ и $CDE$ в треугольниках $ABC$ и $CDE$ также равны.

$DE = BC, DC = BA, \angle ABC =\angle CDE$, значит $\Delta ABC = \Delta CDE$.

А тогда $AC = CE$.

б) Пусть $M$ — точка пересечения $AD$ и $BE$.

$\angle DCE = \angle BEC$, равные хорды стягивают равные дуги. Тогда $CD \parallel BE$.

$\angle BCA = \angle CAD$, равные хорды стягивают равные дуги. Тогда $BC \parallel AD$.

Значит, $BCDM$ — параллелограмм, а значит, $BC=DM=4$, $CD=BM=3$.

$$AM = AD - MD = 6-4=2$$ $\angle BAM= \angle DME$, как вертикальные

$\angle ABE = \angle ADE$, опираются на одну дугу

Тогда треугольники $ABM$ и $MDE$ подобны по двум равным углам. $$\dfrac{AM}{ME}=\dfrac{BM}{MD}$$ $$ME =\dfrac{MD\cdot AM}{BM}= \dfrac{4\cdot2}{3}=\dfrac{8}{3}$$ Тогда $$BE = BM + ME = 3 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{17}{3}$$

Ответ: $\; \dfrac{17}{3}$.