Тип 17 № 13207

а)

Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов $$\cos \angle ABC = \dfrac{AB^2 + BC^2 -AC^2}{2AB \cdot BC}= \dfrac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=-\dfrac{1}{2}$$ Значит, $\angle ABC=120^\circ$ Из треугольника $ADC$ по теореме косинусов $$\cos \angle ADC = \dfrac{AD^2 + DC^2 -AC^2}{2AD \cdot DC}= \dfrac{64+25-49}{2\cdot8\cdot5}=\dfrac{1}{2}$$ Значит, $\angle ADC = 60^\circ$.

Заметим, что $\angle ABC +\angle ADC =120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$, а тогда около $ABCD$ можно описать окружность.

б) Так как $ABCD$ — вписанный, то по теореме Птолемея произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. $$AC \cdot BD = AB \cdot DC + AD \cdot BC$$ $$7\cdot BD = 3 \cdot 5 + 8 \cdot 5$$ $$BD =\dfrac{55}{7}$$

Ответ: $\; \dfrac{55}{7}$.