Задание 19: Среднее арифметическое — ЕГЭ по математике

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел $a_1,\dots,a_n$ равно $\sqrt[n]{a_1\cdot ... \cdot a_n}$ . Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — различные целые числа.

а) Могли ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов? б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Решение:

а) У нас два эксперта, так как рейтинг фильма это среднее геометрическое двух оценок, то есть $\sqrt{a_1 \cdot a_2}$ . Чтобы рейтинг был целым числом, произведение $a_1 \cdot a_2$ должно быть точным квадратом. Для двух различных чисел от 1 до 10 возможны только четыре различных произведения, дающие целые корни: 4, 9, 16, 36. Значит, два эксперта могут оценить не более 4 фильмов с различными целыми рейтингами. Другие квадраты, такие как: 1, 25, 49, 64, 81 в виде двух различных целых чисел от 1 до 10 не представляются, а значит нам не подойдут.

б) Рассмотрим ситуацию, в которой фильмы получили следующие оценки:

Первый: 1, 2, 4

Второй: 1, 3, 9

Третий: 2, 4, 8

Четвертый: 4, 6, 9

Заметим, что среднее геометрическое этих наборов это различные целые числа. Значит 3 эксперта и 4 кинофильма возможны.

в) Если выбрать оценки 3, 6, 8 и 9, то среднее геометрическое этих чисел даёт целое число 6, поэтому задача выполняется для четырёх экспертов.

При попытке увеличить число экспертов до пяти или больше сталкиваемся с проблемой: произведение всех оценок должно быть точной степенью числа, равной количеству экспертов. Но произведение всех чисел от 1 до 10 (10!) делится только на две пятые степени $1^5$ и $2^5$ . Таким образом, для пяти и более экспертов целый рейтинг мог бы быть либо 1, либо 2. Рейтинг 1 невозможен, так как все оценки должны быть различны, а рейтинг 2 требует, чтобы все оценки были степенями двойки (1, 2, 4, 8), что даёт максимум четыре оценки.

Следовательно, максимальное число экспертов — 4.

Ответ: а) Нет; б) Да; в) 4.