Задание 19: Среднее арифметическое — ЕГЭ по математике

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2018

Решение:

а) Нет, не вырастет. $n$ — количество учеников в первой школе, $S$ — средний балл в первой школе, $nS$ — сумма баллов в первой школе. Значит, $n-1$ стало, следовательно, стало $2S$ . Получаем, $2S(n-1) - nS = S(2n-2) - nS = S(2n-2-n) = S(n-2)$ . Так как $n \ge 2$ , то $S(n-2) \ge 0$ . Разность не отрицательна, значит, противоречие, так как должна быть отрицательной.

б) 1 школа — учеников стало $n-1$ , значит, стало среднее $1,1S$ , следовательно $(n-1) \cdot 1,1S$ — баллов стало. $nS-(n-1) \cdot 1,1S = S(n-1,1n+1,1) = S(1,1-0,1n)$ — столько баллов у ушедшего ученика.

2 школа — $(51-n)$ было количество учеников, стало $52-n$ , средний балл был 1, стало 1,1. Получаем уравнение: $(51-n) + S(1,1-0,1n) = (52-n) \cdot 1,1 \leftrightarrow S(1,1-0,1n) = 57,2 - 1,1n - 51 + n \leftrightarrow 1,1S - 0,1Sn = 6,2 - 0,1n \leftrightarrow \newline \leftrightarrow 1,1S - 6,2 = 0,1n(S-1) \leftrightarrow 11S - 62 = n(S-1) \leftrightarrow n = \frac{11S - 62}{S-1} = 11 - \frac{51}{S-1},$ нам подходят $S : 2,4,18,52$ для натурального $n$ . Нам не подходят все числа для $S$ в формуле $S(1,1-0,1n)$ , следовательно, такое быть не может.

в) Пусть $T$ — средний балл во 2-ой школе. Допустим, что был $T$ , а стало $1,1T$ , тогда получим формулу: $(51-n) \cdot T + S(1,1-0,1n) = (52-n) \cdot 1,1T \leftrightarrow 1,1S - 0,1Sn = 6,2T - 0,1nT \leftrightarrow 11S - Sn = 62T - nT \leftrightarrow S(11-n) = T(62-n) \leftrightarrow \newline \leftrightarrow 11S - 62T = Sn - nT \leftrightarrow 11S - 62T = n(S-T) \leftrightarrow n = \frac{11S - 62T}{S-T} = 11 - \frac{51}{S-T},$

пусть $T = 2$ , тогда: $n = 11 - 51 \cdot \frac{2}{S-2}$ значения $S$ для натурального $n: 3,4,5,8,19,36,53,104$ , так как $n \geq 2$ , то отпадают значения $3,4,5,8$ . Остальные не подходят под формулу $S(1,1-0,1n)$ . Возьмем $T = 3$ , тогда $n = 11 - 3 \cdot 3 \cdot \frac{3}{S-3}$ , для него подходят $S: 4,6,12,20,24$ . Из данного набора нам подходит число 20, так же подходит для формулы $S(1,1-0,1n)$ . Тогда было 2 человека: 22 и 18, а во второй школе было 49 по 3. Тогда получаем формулу: $\frac{49T+18}{50} = 1,1T \leftrightarrow 49T + 18 = 5,5T \leftrightarrow T = 3$ .

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 3.