На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно — 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно — 8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Источник: ЕГЭ 2017, Демоверсия
Решение:
а) Пусть — число положительных чисел, — число отрицательный, а — число нулей. Тогда Заметим, что правая часть равенства делится на 4, тогда и левая должна делиться на 4. На интервале (40; 48) подойдет только число 44.
б) Получили, что , значит, отрицательных чисел больше.
в) Из пункта а) знаем, что чисел на доске 44. Тогда Кроме того, .
Если , то , .
Если , то , .
Если , то , .
Значит, — максимальное количество положительных чисел.
Пусть на доске написано раз число , раз написано число и два раза написан .
Ответ: а) 44; б) Отрицательных; в) 17.